Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g , используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Первоначально доказанная Риманом как неравенство Римана , теорема получила свой окончательный вид для римановых поверхностей после работы рано умершего студента Римана Густава Роха . Позднее теорема была обобщена на алгебраические кривые и на многообразия .

Предварительные замечания

Риманова поверхность X является топологическим пространством , которое локально гомеоморфно открытому подмножеству комплексных чисел. Кроме того, требуется, чтобы функции перехода между этими открытыми подмножествами были голоморфны . Последнее условие позволяет перенести на поверхность X понятия комплексного анализа , в частности можно говорить о голоморфных и мероморфных функциях на X .

Поверхность X будет предполагаться компактной . Род g римановой поверхности X — это число ручек поверхности. Например, род показанной справа римановой поверхности равен трём. Род можно также определить как половину первого числа Бетти , то есть половина комплексной размерности первой группы сингулярных гомологий H ₁ ( X , C ) с комплексными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности с точностью до гомеоморфизма , то есть две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род совпадает. С другой стороны, теория Ходжа показывает, что род совпадает с (комплексной) размерностью пространства голоморфных 1-форм на X , так что род кодирует также комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности .

Дивизор D — это элемент свободной абелевой группы , порождённой точками поверхности. Эквивалентно, дивизор является конечной линейной комбинацией с целыми коэффициентами точек поверхности.

Любая мероморфная функция f даёт дивизор, обозначаемый ( f ), который определяется как

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

где R ( f ) — множество всех нулей и полюсов функции f , а s _ν задаётся следующим образом

${\displaystyle s_{\nu }:=a}$ , если ${\displaystyle z_{\nu }}$ является нулём порядка a , и -a , если ${\displaystyle z_{\nu }}$ является полюсом порядка a.

Известно, что множество R ( f ) конечно. Это следствие компактности X и того факта, что нули (ненулевой) голоморфной функции не имеют предельных точек . Таким образом, ( f ) является вполне определённым. Любой дивизор такого вида называется главным дивизором. Два дивизора, отличающиеся на главный дивизор, называются линейно эквивалентными . Дивизор мероморфной 1-формы определяется аналогично. Дивизор глобальной мероморфной 1-формы называется (обычно обозначаемым K ). Любые две мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры, так что канонический дивизор однозначно определён с точностью до линейной эквивалентности.

Символ deg( D ) означает степень (изредка называется индексом) дивизора D , то есть сумму коэффициентов, встречающихся в D . Можно показать, что дивизор глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, так что степень дивизора зависит только от класса линейной эквивалентности.

Число ${\displaystyle \ell (D)}$ является величиной, представляющей главный интерес — размерность (над C ) векторного пространства мероморфных функций h на поверхности, таких, что все коэффициенты дивизора ( h ) + D неотрицательны. Интуитивно, мы можем думать о них как о мероморфных функциях, полюса которых в каждой точке не хуже, чем соответствующие коэффициенты D . Если коэффициент в D в точке z отрицателен, то мы требуем, чтобы h имела нуль степени, не меньшей в точке z , если коэффициент в D положителен, h может иметь полюс не превосходящий этого порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных дивизоров естественно изоморфны через умножение на глобальную мероморфную функцию (которая однозначно определена с точностью до скаляра).

Утверждение теоремы

Теорема Римана — Роха для компактной римановой поверхности рода g с каноническим дивизором K утверждает, что

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1.}$

Обычно число ${\displaystyle \ell (D)}$ является искомым числом, в то время как ${\displaystyle \ell (K-D)}$ рассматривается как корректирующий член (называемый также индексом специальности ), так что теорему можно грубо перефразировать, сказав

размерность − коррекция = степень − род + 1.

Корректирующий член ${\displaystyle \ell (K-D)}$ всегда неотрицателен, так что

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1.}$

Это выражение называется неравенством Римана . Вклад Роха в это утверждение заключается в описании возможной разницы между двумя частями неравенства. На римановой поверхности общего вида рода g , K имеет степень 2 g — 2. Это можно получить, положив в теореме D = K. В частности, если D имеет степень, не меньшую 2 g − 1, корректирующий член равен 0, так что

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1.}$

Есть также некоторое число других тесно связанных теорем — эквивалентная формулировка теоремы с использованием и обобщение теоремы на алгебраические кривые .

Примеры

Теорему можно проиллюстрировать путём выбора точки P на рассматриваемой поверхности и рассмотрения последовательности чисел

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

то есть размерности пространства функций, голоморфных всюду, кроме точки P , в которой функции позволено иметь полюс порядка, не превосходящего n . Для n = 0 функции тогда должны быть целыми , т.e. голоморфными на всей поверхности X . По теореме Лиувилля такая функция обязана быть константой. Таким образом, ${\displaystyle \ell (0)=1}$ . В общем случае последовательность ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$ возрастает.

Род 0

Сфера Римана (называемая также комплексной проективной прямой) односвязна , а следовательно её первые сингулярные гомологии равны нулю. В частности, её род равен нулю. Сферу можно накрыть двумя копиями C с функцией перехода , задаваемой выражением

${\displaystyle \mathbf {C} ^{\times }\ni z\mapsto 1/z.}$

Таким образом, форма ω = d z на одной копии C продолжается до мероморфной формы на сфере Римана — она имеет двойной полюс на бесконечности, поскольку

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz.}$

Тогда её дивизор K := div( ω ) = −2 P (где P — точка на бесконечности).

Таким образом, теорема утверждает, что последовательность ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$ имеет вид

1, 2, 3, … .

Эту же последовательность можно вывести из теории разложения на элементарные дроби . Обратно, если последовательность начинается таким образом, g должно равняться нулю.

Род 1

Следующий случай — римановы поверхности рода g = 1, такие как тор C / Λ, где Λ — двумерная решётка (группа, изоморфная Z ² ). Её род равен единице — её первая группа сингулярных гомологий свободно порождается двумя петлями, как показано на рисунке справа. Стандартная комплексная координата z на C даёт 1-форму ω = d z на X , которая везде голоморфна, то есть вовсе не имеет полюсов. Поэтому K , дивизор ω, равен нулю.

На этой поверхности последовательность будет иметь вид

1, 1, 2, 3, 4, 5 … ;

и это характеризует случай g = 1. Более того, для ${\displaystyle D=0,\ell (K-D)=\ell (0)=1}$ , как было упомянуто выше. Для D = nP с n > 0 степень K − D строго отрицательна, так что корректирующий член равен нулю. Последовательность размерностей можно также вывести из теории эллиптических функций .

Род 2 и выше

Для g = 2 последовательностью, упомянутой выше, будет

1, 1, ?, 2, 3, … .

Здесь член ? степени 2 равен 1 или 2 в зависимости от точки. Можно доказать, что на любой кривой рода 2 имеется в точности шесть точек с последовательностью 1, 1, 2, 2, …, а остальные точки имеют последовательность 1, 1, 1, 2, … В частности, кривая рода 2 является . Для g > 2 всегда верно, что последовательность большинства точек начинается с g+1 единиц и имеется конечное число точек с другими последовательностями (см. ).

Теорема Римана — Роха для линейных расслоений

Используя тесное соответствие между дивизорами и на римановой поверхности, можно сформулировать теорему в другом, но всё же эквивалентном виде. Пусть L — голоморфное линейное расслоение на X . Пусть ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ обозначает пространство голоморфных сечений L . Это пространство будет конечномерным и эта размерность обозначается как ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ . Пусть K обозначает на X . Тогда теорема Римана — Роха утверждает, что

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.}$

Теорема из предыдущего раздела является частным случаем, когда L — точечное расслоение.

Теорему можно использовать, чтобы показать, что существуют g голоморфных сечений K или 1-форм на X . Если взять в качестве L тривиальное расслоение, получим ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$ , поскольку только постоянные функции на X являются голоморфными. Степень L равна нулю и ${\displaystyle L^{-1}}$ является тривиальным расслоением. Тогда

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g.}$

Таким образом, ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$ , что доказывает, что имеется g голоморфных 1-форм.

Теорема Римана — Роха для алгебраических кривых

Каждый член в вышеприведённой формулировке теоремы Римана — Роха для дивизоров на римановых поверхностях имеет аналог в алгебраической геометрии . Аналогом римановой поверхности служит неособая алгебраическая кривая C над полем k . Различие в терминологии (кривые вместо поверхностей) возникает, поскольку размерность римановой поверхности как вещественного многообразия равна двум, а как комплексного многообразия — единице. Компактность римановой поверхности обусловлена условием, что алгебраическая кривая , что эквивалентно её проективности . Над полем k общего вида не существует хорошего понятия сингулярных (ко)гомологий. Так называемый геометрический род определяется как

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

то есть как размерность пространства глобально определённых (алгебраических) 1-форм (см. Кэлеров дифференциал ). Наконец, мероморфные функции на римановой поверхности локально представляются как частные голоморфных функций. Следовательно, они заменяются рациональными функциями , которые локально являются частными . Таким образом, если обозначить через ${\displaystyle \ell (D)}$ размерность (над k ) пространства рациональных функций на кривой, полюса которой в каждой точке не хуже соответствующих коэффициентов в D , имеет место та же самая формула, что и выше:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1.}$

где C — проективная неособая алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым полем k . Фактически, та же самая формула выполняется для проективных кривых над любым полем, за исключением того, что при подсчёте степени дивизора необходимо учитывать точек . Наконец, для подходящей кривой над артиновым кольцом , эйлерова характеристика линейного расслоения, ассоциированного с дивизором, задаётся степенью дивизора (должным образом определённой), плюс эйлерова характеристика структурного пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ .

Предположение гладкости в теореме может быть также ослаблено — для (проективной) кривой над алгебраически замкнутым полем, все локальные кольца которой являются , выполняется то же утверждение, что и выше, за исключением того, что геометрический род заменяется g _a , определяемым как

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C}).}$

(Для гладких кривых геометрический род совпадает с арифметическим.) Теорема была также распространена на общие особые кривые (и многообразия более высокой размерности) .

Доказательство

Утверждение для алгебраических кривых можно доказать с помощью двойственности Серра . Целое число I ( D ) является размерностью пространства глобальных сечений ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ , ассоциированного с D . В терминах , мы имеем поэтому ${\displaystyle I(D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$ и, таким же образом, ${\displaystyle I({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ . Однако двойственность Серра для неособых проективных многообразий в частном случае кривой утверждает, что ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ изоморфно двойственному пространству ${\displaystyle \simeq H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$ . Левая часть тогда равна эйлеровой характеристике дивизора D . Если D = 0, мы находим эйлерову характеристику структурного пучка, которая равна ${\displaystyle 1-g}$ по определению. Для доказательства теоремы для общих дивизоров, можно добавлять точки одну за другой к дивизору и удалять некоторые и доказать, что эйлерова характеристика преобразуется согласно правой стороне.

Теорема для компактных римановых поверхностей может быть выведена из алгебраической версии с помощью и принципа (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique). Фактически, любая компактная риманова поверхность определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чжоу утверждает, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA утверждает, что когомологии пучков алгебраического многообразия те же самые, что и когомологии пучков аналитического многообразия, определённого некоторыми уравнениями).

Приложения

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d имеет ${\displaystyle (d-1)(d-2)/2-g}$ особых точек, если считать подходящим образом. Отсюда следует, что если кривая имеет ${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$ различных особых точек, это рациональная кривая и, допускающая рациональную параметризацию.

, относяющаяся к (разветвлённым) отображениям между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана — Роха.

является также следствием теоремы Римана — Роха. Она утверждает, что для специального дивизора (то есть такого, что ${\displaystyle \ell (K-D)>0}$ ), удовлетворяющего условию ${\displaystyle \ell (D)>0}$ , выполняется следующее :

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1.}$

Обобщения теоремы Римана — Роха

Теорему Римана — Роха для кривых доказали для римановых поверхностей Риман и Рох в 1850-х годах, а для алгебраических кривых доказал Фридрих Карл Шмидт в 1931 году, работая с совершенными полями конечной характеристики . Согласно :

Первое большое достижение Ф. К. Шмидта — открытие факта, что классическая теорема Римана — Роха на компактных римановых поверхностях может быть перенесена на поле функций с конечным базовым полем. Фактически, его доказательство теоремы Римана — Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных.

Теорема является фундаментальной в том смысле, что более поздняя теория для кривых пытается усовершенствовать информацию, получаемую из теоремы (например, в ).

Имеются версии для более высоких размерностей (при подходящем понятии дивизора или ). Их формулировка зависит от разбиения теоремы на две части. Первая, теперь называемая двойственностью Серра , интерпретирует член ${\displaystyle \ell (K-D)}$ как размерность первой группы . При ${\displaystyle \ell (D)}$ , равном размерности нулевой группы когомологий или пространства сечений, левая часть теоремы становится эйлеровой характеристикой , а правая часть становится формулой вычисления её как степени , исправленной согласно топологии римановой поверхности.

В алгебраической геометрии размерности два такая формула была найдена геометрами итальянской школы . Теорема Римана — Роха для поверхностей была доказана (существует несколько версий, первое доказательство принадлежит Максу Нётеру ). Такое положение вещей сохранялось примерно до 1950 года.

Обобщение для n -мерных многообразий, , было доказано Фридрихом Хирцебрухом как приложение характеристических классов из алгебраической топологии . На Хирцебруха повлияла работа Кунихико Кодайра . Примерно в то же время Жан-Пьер Серр дал общую форму двойственности, как мы её теперь знаем.

Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, известное сейчас как . Его работа даёт другое толкование теоремы Римана — Роха, не как теоремы о многообразии, а как теоремы о морфизме между двумя многообразиями. Детали доказательства опубликовали Борель и Серр в 1958 году.

Наконец, общая версия была также найдена в алгебраической топологии . Эти исследования, в основном, проведены между 1950 и 1960 годами. После этого теорема Атьи — Зингера об индексе открыла другие пути обобщения.

Результатом является факт, что эйлерова характеристика ( когерентного пучка ) иногда вполне вычислима. Если требуется вычислить отдельный член суммы, должны быть использованы другие аргументы, такие как теоремы об обращении в нуль.

Примечания

Литература