Interested Article - Топологическая K-теория
- 2021-02-01
- 1
В математике , топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии . В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху .
Определения
Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и или . Тогда определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных -векторных расслоений над X с суммой Уитни . Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца . Без индекса, обычно обозначает комплексную K -теорию, тогда как вещественная K -теория иногда обозначается как . Далее мы рассматриваем комплексную K -теорию.
В качестве начального примера заметим, что K -теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.
Существует редуцированная версия K теории, ,которая определяется для X — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как K ( X ) по модулю тривиальных расслоений . Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения и , такие что , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , можно определить как ядро отображения индуцируемого вложением базовой точки x 0 в X .
K -теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой ( X , A )
Продолжается до длинной точной последовательности
Пусть S n будет n -ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:
Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.
Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:
Где это с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+».
Наконец, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.
Свойства
- K n и, соответственно являются контравариантными функторами из пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, K -теория над стягиваемыми пространствами это
- Спектром K -теории является (с дискретной топологией на ), т.е. где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп : Аналогично,
-
- Для вещественной K теории используется пространство BO .
- Аналогом в K -теории являются . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K -теории.
- Принцип расщепления в топологической K -теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.
- в топологической K теории это:
-
- где T ( E ) - векторного расслоения E над X . Это выполняется когда E является спинарным расслоением.
- позволяет вычислять K -группы из обычных групп когомологий.
- Топологическую K -теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах .
Периодичность Ботта
Периодичность , названную в честь Рауля Ботта , можно сформулировать так:
- и , где H - класс тавтологического расслоения на то есть на сфере Римана .
В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.
Приложения
Два самых известных применения топологической K -теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа , сделав вычисления с помощью . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.
Характер Чженя
Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм
такой, что
Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия .
См. также
Ссылки
- . 17 апреля 2018 года.
Литература
- Atiyah, Michael Francis. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley , 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0 .
- Handbook of K-Theory. — Springer-Verlag , 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4 .
- Karoubi, Max. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag , 1978. — ISBN 0-387-08090-2 .
- .
- .
- (2006). "K-theory. An elementary introduction". arXiv : .
- 2021-02-01
- 1