Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой . А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений .

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика , доказавшего её в 1957 году. Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году, но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю и в 1905 году Давиду Гильберту .

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)}$ обозначает расслоение с классом Черна ${\displaystyle a}$ . Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица ${\displaystyle M}$ , каждая компонента которой является многочленом Лорана от ${\displaystyle z}$ , представляется в виде произведения

${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$ ,

где матрица ${\displaystyle M^{+}}$ — многочлен от ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle M^{0}}$ — диагональная матрица, и матрица ${\displaystyle M^{-}}$ — многочлен от ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$ .

Приложения

• Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

• Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ для любого поля ${\displaystyle k}$ .

Примечания

Литература

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces , Progress in Mathematics, Birkhäuser .