Главный идеал — идеал , порождённый одним элементом.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения ${\displaystyle \mathrm {lid} _{R}a}$ , ${\displaystyle \mathrm {rid} _{R}a}$ , ${\displaystyle \mathrm {id} _{R}a}$ для левых, правых и двусторонних главных идеалов элемента ${\displaystyle a}$ кольца ${\displaystyle R}$ соответственно.

Определение

Левый идеал кольца ${\displaystyle R}$ называется главным левым идеалом , если он порождён одним элементом ${\displaystyle a}$ . Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы .

Если ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо , то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый ${\displaystyle a}$ , обозначают через ${\displaystyle (a)}$ .

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

• ${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\}}$ .
• ${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\}}$ .
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_{n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}}$ .

Если же ${\displaystyle R}$ — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

• ${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \}}$ .
• ${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \}}$ .
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}}$ .

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ . Идеал ${\displaystyle (x,y)}$ , порождённый многочленами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом ${\displaystyle a\in \mathbb {C} [x,y]}$ ; тогда на него должны делиться ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ . Это возможно, только если ${\displaystyle a}$ — ненулевая константа. Но в ${\displaystyle (x,y)}$ только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения

• Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов .
• Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов . В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел .

Примеры

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида . Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов ; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент ) НОД элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ как порождающий элемент идеала ${\displaystyle (a,b)}$ .

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7 .