Гомологическая сфера — n -мерное многообразие X с гомологиями как у n -мерной сферы . То есть

H ₀ ( X , Z ) = Z = H _n ( X , Z ),

и

H _i ( X , Z ) = {0} при всех остальных i .

Примеры

• Сфера Пуанкаре
• Сферы Брискорна Σ( p , q , r ), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения x ^p + y ^q + z ^r = 0 в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ при взаимно простых p , q и r . Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если ${\displaystyle 1/p+1/q+1/r\leq 1}$ , то универсальное накрытие Σ( p , q , r ) гомеоморфно евклидовому пространству,

Свойства

• Гомологическая сфера связна.
• Фундаментальная группа ${\displaystyle \Gamma }$ гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
• Пусть ${\displaystyle n\geqslant 5}$ . Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является группой какой-то n -мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда :
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ конечно задана ;
  2. ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$ ;
  3. ${\displaystyle H_{2}(\Gamma )=0}$ .
• Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является группой какой-то 4 -мерной гомологической сферы, если
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ задана равным числом образующих и соотношений, и
  2. ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$ .
  • Неизвестно, верно ли обратное .
• Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
• Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре , односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Вариации и обобщения

• Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.

Примечания