Инверсная группа — построение в теории групп , сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия . Для данной группы ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ строится как группа ${\displaystyle G^{op}=(G,{*})}$ с тем же множеством элементов, но с произведением ${\displaystyle {*}}$ , определённым по правилу ${\displaystyle g*h:=h\cdot g}$ .

Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой. Инверсная группа любой группы изоморфна ей: изоморфизмом будет, например, ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ; кроме того, любой ${\displaystyle \psi :G\to G}$ (взаимно-однозначное отображение группы на себя, удовлетворяющее соотношению ${\displaystyle \psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)}$ ) порождает соответствующий изоморфизм ${\displaystyle \varphi :G\to G^{op}}$ :

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)=\psi (a)*\psi (b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$ .

Если задано правое действие группы ${\displaystyle G}$ на объекте некоторой категории: ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$ , то ${\displaystyle \rho ^{op}:G^{op}\to \mathrm {Aut} (X)}$ , определённое как ${\displaystyle \rho ^{op}(g)=\rho (g)}$ (или ${\displaystyle g^{op}x=xg}$ ), является левым действием.

При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории .

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7 .