Диагональная матрица — квадратная матрица , все элементы которой, стоящие вне главной диагонали , равны нулю:

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}\end{bmatrix}}}$ .

Диагональная матрица ${\displaystyle D}$ с элементами ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})}$ , стоящими на главной диагонали, обозначается ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}}$ .

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной . Диагональная матрица симметрична: ${\displaystyle D^{\intercal }=D}$ . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n}\}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}}$ .

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: ${\displaystyle \mathrm {det} \,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}}$ .

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

${\displaystyle D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases}}}$ .

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}}$ .

Диагональными являются нулевая матрица , единичная матрица , скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса ; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме ).

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 3 марта 2023 )