Центр масс (тж. центр ине́рции ) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого . Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,}$

где ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$ — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы .

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механике

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом :

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}$

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ — радиус-вектор центра масс, ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор i -й точки системы, ${\displaystyle m_{i}}$ — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,}$

${\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}$

где ${\displaystyle M}$ — суммарная масса системы, ${\displaystyle V}$ — объём, ${\displaystyle \rho }$ — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами ${\displaystyle M_{i}}$ , то радиус-вектор центра масс такой системы ${\displaystyle R_{c}}$ связан с радиус-векторами центров масс тел ${\displaystyle R_{ci}}$ соотношением :

${\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}$

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами ${\displaystyle M_{1},M_{2},...M_{N}.}$ Радиус-вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}}$ ${\displaystyle n}$ -ной системы:

${\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.}$

${\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}$

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Примеры

Центры масс плоских однородных фигур

• У отрезка — середина.
• У многоугольников :
  • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей .
  • У треугольника — точка пересечения медиан ( центроид ).
• У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии .
• У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении ${\displaystyle {\frac {4}{3\pi }}}$ от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина ):

${\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}}$ и ${\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}}$ , где ${\displaystyle V_{x},V_{y}}$ — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, ${\displaystyle S}$ — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

• Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера . Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс ( барицентр ) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

Использование

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами ( материальная точка ). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона . Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта , связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции . В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света ) (например, в физике элементарных частиц ) для описания динамики системы применяется аппарат СТО . В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

${\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},}$

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}}$ — радиус-вектор центра масс, ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор i -й частицы системы, ${\displaystyle E_{i}}$ — полная энергия i -й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами .

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» ( англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

${\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.}$

Смежные понятия

Центр масс vs. барицентр

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд . Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины ${\displaystyle l}$ , соединяющем тела массами ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ , на удалении ${\displaystyle s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})}$ от тела ${\displaystyle m_{1}}$ .

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было ${\displaystyle \rho =}$ const).

Центр масс vs. центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

• Классическая механика
• Теоретическая механика
• Теорема о движении центра масс системы
• Неваляшка
• Барицентр
• Центроид треугольника

Примечания

Литература

• Бобылёв Д. К. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. — М. : Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3 . .