Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном , аффинном пространстве или проективном пространстве ; то есть подпространство с размерностью , на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением ${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=b}$ ), для трёхмерного — плоскость , для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть ${\displaystyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}}$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку ${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{k}}$ , имеет вид

${\displaystyle \langle \mathbf {n} ;\mathbf {x} \rangle =\langle \mathbf {n} ;\mathbf {X} \rangle }$

Здесь ${\displaystyle \langle \bullet ;\bullet \rangle }$ — скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ . В частном случае уравнение принимает вид

${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{k}x_{k}=d=n_{1}X_{1}+n_{2}X_{2}+\ldots +n_{k}X_{k}}$

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть ${\displaystyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}}$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки ${\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{k}}$ до этой гиперплоскости задаётся формулой

${\displaystyle \rho ={\frac {|\langle \mathbf {r} -\mathbf {R} ;\mathbf {n} \rangle |}{|\mathbf {n} |}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {R} }$ — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 8 января 2018 )