Суперэллипсоид
— геометрическое тело, поперечными сечениями которого являются
суперэллипсы
(кривые Ламе) с одним и тем же показателем степени
r
, а вертикальные сечения — суперэллипсы с одним и тем же показателем степени
t
. Некоторые суперэллипсоиды являются
суперквадриками
, однако ни одно из этих семейств не является подмножеством другого.
Параметры
r
и
t
— положительные действительные числа, которые определяют форму фигуры, в частности — степень плоскостности полюсов и экватора. Когда
t
=
r
, суперэллипс становится частным случаем суперквадрики.
Любая параллель (горизонтальное сечение) суперэллипсоида плоскостью
z
=
b
, где -1 <
b
< +1, является кривой Ламе с показателем степени
r
, и масштабным коэффициентом
Любой меридиан (сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии) также является кривой Ламе с показателем степени
t
и вытянутой в горизонтальном направлении с коэффициентом
w
, зависящим от положения секущей плоскости. Именно, если
x
=
u
cos
θ
и
y
=
u
sin
θ
при фиксированном
θ
, то
где
В частности, если
r
= 2, горизонтальные сечения являются кругами, а
w
= 1 для всех секущих плоскостей. В этом случае суперэллипсоид является телом вращения, полученной вращением кривой Ламе с показателем степени
t
вокруг вертикальной оси.
Базовый суперэллипсоид располагается в пространстве внутри куба, где значения каждой из трёх координат лежат в пределах от −1 до +1. Суперэллипсоид общего вида получается масштабированием базового суперэллипсоида по координатным осям с коэффициентами
A
,
B
,
C
, которые являются полуосями получившегося суперэллипсоида. Уравнение суперэллипсоида общего вида
Принимая
r
= 2,
t
= 2,5,
A
=
B
= 3,
C
= 4, получим суперъяйцо Пита Хейна.
Суперэллипсоид общего вида представляется в параметрическом виде через параметры
u
and
v
(долгота и широта)
:
где
Объём суперэллипсоида выражается формулой
Примечания
Barr, A.H. (January 1981),
Superquadrics and Angle-Preserving Transformations
. IEEE_CGA vol. 1 no. 1, pp. 11–23
↑
Barr, A.H. (1992),
Rigid Physically Based Superquadrics
. Chapter III.8 of
Graphics Gems III
, edited by D. Kirk, pp. 137–159