Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ (так называемых аликвотных дробей ). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель , равный единице, и знаменатель , представляющий собой натуральное число .

Пример: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}}$ .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a / b ; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов ). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья . В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби , однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики .

История

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления , Математика в Древнем Египте .

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте . Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда . Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток , Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода ; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/ n , а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

( ер , «[один] из» или ре , рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2 ^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел . Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить (~4,785 литра ), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна , хлеба и пива . Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро , единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

${\displaystyle ={\frac {1}{331}}}$

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков , несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой ). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде « Liber Abaci ».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ разлагается на два слагаемых:

${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\lceil n/m\rceil }}.}$

Здесь ${\displaystyle \lceil n/m\rceil }$ — частное от деления n на m , округлённое до целого в бо́льшую сторону, а ${\displaystyle (-n){\bmod {m}}}$ — (положительный) остаток от деления − n на m .

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

${\displaystyle {\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.}$

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},}$

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.}$

Современная теория чисел

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

• В конце XX века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x / y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более

${\displaystyle O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)}$

( ) и с числом слагаемых не более

${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$

( ).

• Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого

  ${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$

Эта гипотеза доказана в 2003 году .

Открытые проблемы

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешённых математических проблем.

Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x , y и z , при которых

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 10 ¹⁴ , но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N , при котором для всех n ≥ N существует разложение

${\displaystyle {\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю ^{[ источник не указан 659 дней ]} .

Примечания

Литература

• Ван дер Варден. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Beeckmans, L. The splitting algorithm for Egyptian fractions (неопр.) // Journal of Number Theory . — 1993. — Т. 43 . — С. 173—185 .
• Botts, Truman. (неопр.) // Mathematics Magazine . — 1967. — С. 55—65 .
• Breusch, R. (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1954. — Vol. 61 . — P. 200—201 .
• Bruins, Evert M. Platon et la tabl égyptienne 2/n (неопр.) // Janus. — 1957. — Т. 46 . — С. 253—263 .
• Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, (англ.) . — Holt, Reinhard, and Winston, 1953.
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs (неопр.) . — Dover, 1982.
• Graham, R. L. (англ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1964. — Vol. 14 , no. 1 . — P. 85—92 . 22 ноября 2009 года. от 22 ноября 2009 на Wayback Machine
• Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (нем.) . — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1982. — Vol. 9 . — P. 133—171 .
• Lüneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers (нем.) . — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993.
• Martin, G. Dense Egyptian fractions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society . — 1999. — Vol. 351 . — P. 3641—3657 .
• Menninger, Karl W. (англ.) . — MIT Press , 1969.
• Robins, Gay; Shute, Charles. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text (англ.) . — Dover, 1990.
• Stewart, B. M. (неопр.) // American Journal of Mathematics . — 1954. — Т. 76 . — С. 779—785 .
• Stewart, I. The riddle of the vanishing camel (англ.) // Scientific American . — Springer Nature , 1992. — No. June . — P. 122—124 .
• Struik, Dirk J. (неопр.) . — Dover, 1967. — С. —25.
• Takenouchi, T. On an indeterminate equation (неопр.) // Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser.. — 1921. — Т. 3 . — С. 78—92 .
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. Length and denominators of Egyptian fractions (неопр.) // Journal of Number Theory . — 1990. — Т. 35 . — С. 150—156 .
• Vose, M. Egyptian fractions (неопр.) // London Mathematical Society . — 1985. — Т. 17 . — С. 21 .
• Wagon, S. (неопр.) . — (англ.) ( , 1991. — С. —277.

Ссылки

• Дэвид Эппштейн. (неопр.) . 19 февраля 2012 года.
• (неопр.) . 19 февраля 2012 года.
• (неопр.) (2000). 19 февраля 2012 года.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Браун, Кевин. (неопр.) . Дата обращения: 24 декабря 2006. Архивировано из 16 октября 2006 года.