Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х ( теорема Гильберта о корнях , во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz , что переводится как «теорема о нулях») — теорема , устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй . Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии .

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем . Впервые доказана Давидом Гильбертом ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle k}$ — произвольное поле (например, поле рациональных чисел ), ${\displaystyle K}$ — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел ). Рассмотрим ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ — кольцо многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных с коэффициентами в поле ${\displaystyle K}$ , пусть ${\displaystyle I}$ — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$ , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$ таких, что ${\displaystyle f(x)=0}$ для любого ${\displaystyle f\in I}$ . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен ${\displaystyle p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ зануляется на множестве ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$ , то есть если ${\displaystyle p(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in V(I)}$ , то существует натуральное число ${\displaystyle r}$ такое, что ${\displaystyle p^{r}\in I}$ .

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если ${\displaystyle I}$ является собственным идеалом в кольце ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ , то ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$ не может быть пустым множеством , то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен ${\displaystyle p(x)=1}$ имеет корни всюду на ${\displaystyle {\hbox{V}}(I)}$ , следовательно, его степень принадлежит ${\displaystyle I}$ ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого . Предположение о том, что поле ${\displaystyle K}$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры , теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала ${\displaystyle J}$ справедлива формула

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

где ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ — радикал идеала ${\displaystyle J}$ , а ${\displaystyle {\hbox{I}}(U)}$ — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве ${\displaystyle U}$ .

Из этого следует, что операции ${\displaystyle {\hbox{I}}}$ и ${\displaystyle {\hbox{V}}}$ задают биективное , обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в ${\displaystyle K^{n}}$ и радикальными идеалами в ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ .

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве , называемое проективной Nullstellensatz . Пусть ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ , ${\displaystyle R_{d}}$ — множество однородных многочленов степени ${\displaystyle d}$ . Тогда

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}}$

называется максимальным однородным идеалом . Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ и однородного идеала ${\displaystyle I}$ пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\;\forall x\in S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}}$

Напомним, что ${\displaystyle f}$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами ${\displaystyle x}$ , в которых ${\displaystyle f(x)=0}$ , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала ${\displaystyle I\in R_{+}}$ верно

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)).}$

Литература

• Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968

См. также