Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных . Это уравнение известно в различных областях прикладной математики . Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

В гидродинамике уравнение вводится так: пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость ${\displaystyle \nu }$ . Тогда в общем виде уравнение Бюргерса записывается так:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$ .

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть ${\displaystyle \nu =0}$ , уравнение приобретает вид:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$ .

В этом случае мы получаем — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее или течения с ударными волнами .

Если ${\displaystyle \nu }$ вещественно и не равно ${\displaystyle 0}$ , уравнение сводится к случаю ${\displaystyle \nu =1}$ : для ${\displaystyle \nu <0}$ нужно сначала сделать замену ${\displaystyle u\to -u}$ , ${\displaystyle x\to -x}$ , и для любого знака ${\displaystyle \nu }$ : ${\displaystyle u\to {\sqrt {|\nu |}}\,u}$ , ${\displaystyle x\to {\sqrt {|\nu |}}\,x}$ .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа- Коула . Для этого (при ${\displaystyle \nu =1}$ ) нужно сделать замену функции:

${\displaystyle u={\frac {\partial \ln w}{\partial x}}=w_{x}/w}$ .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности :

${\displaystyle u(x,t)=2{\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4t}}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'{\Bigr \}}.}$

См. также

Литература

Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

Примечания

Ссылки

• at EqWorld: The World of Mathematical Equations.