Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений .

Определение

Пусть ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ — две независимые случайные величины , имеющие распределение хи-квадрат : ${\displaystyle Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})}$ , где ${\displaystyle d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2}$ . Тогда распределение случайной величины

${\displaystyle F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}}$ называется распределением Фишера (распределением Снедекора) со степенями свободы ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ . Пишут ${\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ .

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

${\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$ , если ${\displaystyle d_{2}>2}$ ,

${\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}}$ , если ${\displaystyle d_{2}>4}$ .

Свойства распределения Фишера

• Если ${\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ , то ${\displaystyle {\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})}$ .
• Распределение Фишера сходится к единице. Доказательство:
  если ${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ , то ${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)}$ по распределению при ${\displaystyle d_{1},d_{2}\to \infty }$ , где ${\displaystyle \delta (x-1)}$ — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы ${\displaystyle X\equiv 1}$ .

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$ , то случайные величины ${\displaystyle d_{1}F_{d_{1},d_{2}}}$ сходятся по распределению к ${\displaystyle \chi ^{2}(d_{1})}$ при ${\displaystyle d_{2}\to \infty }$ .

Примечания

Ссылки