Квантовая задача Кулона (аналог классической задачи Кеплера ), позволяющая рассчитывать спектр системы из двух противоположных зарядов, является до сих пор фундаментальной в квантовой теории . С ней связаны имена основателей физики 20-го века — Н. Бора , А. Зоммерфельда , В. Паули , Э. Шредингера , В. Фока . С неё начинается введение в теорию атомных спектров и она прекрасно изучена методами теории специальных функций . Благодаря своей простоте и заложенной в ней симметрии — группе вращений 4-х мерного пространства SO(4) , она является исключительно полезным и тонким инструментом теоретической физики для построения различных концепций . Реализацию симметрии SO(4) нашел В. Фок в импульсном пространстве . Результат Фока удивляет физиков: почему симметрия SO(4) проявляется в импульсном пространстве, свернутом в 3-d сферу c выходом в 4-d пространство.

Сущность открытия

Напомним предысторию достижения Фока. Два классических векторных интеграла — угловой момент и вектор Рунге-Ленца в квантовой механике соответствуют векторным операторам, которые коммутируют с оператором энергии, то есть с гамильтонианом . Анализ их коммутаторов, проведенный в , показывает, что они порождают алгебру Ли (линейное пространство с операцией коммутирования) совпадающую с алгеброй Ли малых (инфинитезимальных) операторов поворотов 4-х мерного пространства .

Для физиков это соответствие означает, что существует преобразование переменных и операторов, которое переводит исходную квантовую задачу Кулона в некоторое движение частицы на трехмерной 3-d сфере, вложенной в четырёхмерное 4-d пространство. Оператор энергии при этом будет инвариантен при вращениях 3-d сферы. Это напоминает замечательный эффект Л. Кэрола "с парящей улыбкой Чеширского кота ".

Подход Фока поразил современников .Исходным пунктом в его теории является интегральное уравнение Шредингера ( УШ ) в импульсном пространстве. Это пространство можно рассматривать как 3-d плоскость в 4-d пространстве. Затем Фок сворачивает её в сферу с помощью стереографической проекции , известной с античных времен как удобное преобразование глобуса на плоскую карту . (У Фока глобус трехмерный — также как и карта). При этом, Фок угадывает необходимый множитель для пси-функций , чтобы исходное интегральное уравнение перешло в уравнение для сферических функций на 3-d сфере (не путать со сферическими функциями на двумерной сфере). Это уравнение, редко используемое в физике, но известное в теории специальных функций , инвариантно относительно вращений в 4-d пространстве .

Фок не объясняет физический смысл найденного им преобразования . В результате остается принципиальный вопрос — почему симметрия SO(4) реализуется в свернутом импульсном, а не в координатном пространстве, и как электрон «узнал о стереографической проекции» . Позднее, Ефимов С. П. развил теорию В. Фока, с помощью переноса его результата в координатное пространство. . При этом переход от четырёхмерных сферических функций к функциям в физическом пространстве алгебраический (без интегралов) и сопровождается заменой четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус вектор ${\displaystyle \imath r}$ .

Теория Фока

При использовании атомных единиц, когда единица энергии есть ${\displaystyle {\frac {Z^{2}me^{4}}{\hbar ^{2}}}}$ , а единица длины равна радиусу Бора ${\displaystyle a_{B}={\frac {\hbar ^{2}}{Zme^{2}}}}$ , УШ для собственных функций принимает вид:

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\Delta -{\frac {1}{r}}\right)\Psi _{nlm}=-{\frac {1}{2n^{2}}}\Psi _{nlm}}$ .

Дапее удобно привести каждую орбиту с радиусом ${\displaystyle na_{B}}$ к единому радиусу , то есть заменить радиус вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ на вектор ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} }{n}}}$ . В результате УШ принимает обманчиво простую форму

${\displaystyle (-\Delta +1)\Psi _{nlm}(\mathbf {r} )={\frac {2n}{r}}\Psi _{nlm}(\mathbf {r} ),}$

где используется снова обозначения ${\displaystyle \mathbf {r} }$ and ${\displaystyle r}$ для вектора и его модуля. В этом случае в импульсном представлении аргумент пси-функций растягивается: ${\displaystyle \mathbf {p'} =n\mathbf {p} }$ .

При переходе в импульсное пространство , к собственным функциям УШ необходимо применить преобразование Фурье ${\displaystyle (\hbar =1)}$ :

${\displaystyle \Psi _{nlm}(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \ a_{nlm}(\mathbf {p} )e^{(i\mathbf {pr} )}d^{3}\mathbf {p} }$ .

Применение его к УШ приводит к свертке по импульсам . Потенциал ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ переходит в функцию ${\displaystyle {\frac {4\pi }{\left|\mathbf {p^{2}} \right|}}}$ , что дает интегральное (не локальное) уравнение:

${\displaystyle (\left|\mathbf {p^{2}} \right\|+1)a_{nlm}(\mathbf {p} )-{\frac {2n}{2\pi ^{2}}}\int {\frac {a_{nlm}(\mathbf {p'} )}{\left|\mathbf {p-p'} \right|^{2}}}d^{3}\mathbf {p'} .}$

Отметим, что нелокальность уравнения приводит к тому, что Вектор Лапласа-Рунге-Ленца не фигурирует в импульсном пространстве.

Первый шаг теории Фока следующий: без всякого объяснения функция ${\displaystyle a_{nlm}(\mathbf {p} )}$ умножается на множитель ${\displaystyle (1+\mathbf {p^{2}} )^{2}}$ .

Второй шаг : 3-d плоскость в импульсном пространстве сворачивается в 3-d сферу с координатами ${\displaystyle ({\boldsymbol {\xi }},{\mathit {\xi _{0}}})}$ (см. рис.1)

Из рисунка видно, что тангенс угла наклона проектирующей (красной) прямой равен:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {1}{\left|\mathbf {p} \right|}}.}$

Отсюда следуют формулы:

${\displaystyle \left|{\boldsymbol {\xi }}\right|=\sin 2\varphi ={\frac {2\left|\mathbf {p} \right|}{(1+\mathbf {p^{2}} )}},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}={\frac {2\mathbf {p} }{(1+\mathbf {p^{2}} )}},}$

${\displaystyle {\mathit {\xi _{0}}}=\cos 2\varphi ={\frac {(\mathbf {p^{2}} -1)}{(\mathbf {p^{2}} +1)}},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{2}+\xi _{0}^{2}=1.}$

Стереографическая проекция удваивает угол наклона и в этом её эффект. Плоский рисунок при этом правильно отражает 4-х мерное преобразование.

В новых переменных, с учётом множителя Фока, собственная функция равна:

${\displaystyle b_{nlm}({\boldsymbol {\xi }},\xi _{0})=(\mathbf {p^{2}} +1)^{2}a_{nlm}(\mathbf {p} ).}$

Существенно, что проекция является конформным преобразованием . Углы между пересекающимися кривыми сохраняются. Метрика на сфере в координатах пространства импульсов (плоскости p ) равна:

${\displaystyle {\frac {4}{\mathbf {(p^{2}+1)^{2}} }}(d\mathbf {p} )^{2}.}$

Отсюда коэффициент сжатия элементов пространства p равен ${\displaystyle {\frac {(\mathbf {p^{2}} +1)}{2}}}$ . Элемент объёма в формуле (10) заменяем через элемент трехмерной поверхности :

${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{8}}(\mathbf {p^{2}} +1)^{3}dS_{\xi }}$

Ядро интеграла удачно (и не очевидно) преобразуется следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{\mathbf {(p-p')^{2}} }}={\frac {2}{\mathbf {(p^{2}+1)} }}{\frac {1}{[{\boldsymbol {(\xi -\xi ')^{2}}}+(\xi _{0}-\xi '_{0})^{2}]}}{\frac {2}{\mathbf {(p'^{2}+1)} }},}$

что не вытекает из конформности. Теперь подставляем последние три соотношения в интегральное уравнение . Получаем:

${\displaystyle b_{nlm}({\boldsymbol {\xi }},\xi _{0})-{\frac {n}{2\pi ^{2}\ }}\int {\frac {b_{nlm}({\boldsymbol {\xi '}},\xi '_{0})}{[{\boldsymbol {(\xi -\xi ')^{2}}}+(\xi _{0}-\xi '_{0})^{2}]}}dS_{\xi '},}$

где, как видно из Рис.1, элемент поверхности на единичной сфере с объёмом ${\displaystyle 2\pi ^{2}}$ равен:

${\displaystyle dS_{\xi }={\frac {d{\xi _{1}}d\xi _{2}d{\xi _{3}}}{\xi _{0}}}={\frac {dV_{\xi }}{\xi _{0}}}}$

(Интегрирование по плоскому 3-d пространству удобно при расчетах.)

В. Фок далее отсылает к теории сферических функций в четырёхмерном пространстве , где полиномы Гегенбауэра играют важную роль. Однако, в найденное уравнение можно подставить любую сферическую функцию и их сумму с фиксированным значением индекса (n-1), которое соответствует значению n в исходном УШ . В силу этого, уравнение не определяет квантовые числа ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ . Здесь важно свойство конформности. Повороту на сфере соответствует поворот на тот же угол в импульсном и координатном пространствах, так что функция с множителем ${\displaystyle Y_{l,m}}$ переходит в собственную функцию с тем же угловым множителем (но с изменённым аргументом).

Таким образом, необходимое решение интегрального уравнения на 3-d сфере равно

${\displaystyle b_{nlm}({\boldsymbol {\xi }},\xi _{0})=Y_{l,m}(\theta ,\varphi )G_{(n-1-l)}^{l+1}(\xi _{0})}$ ,

где второй множитель есть полином Гегенбауэра .

Неадекватная интерпретация

Математические симметрии играют важную роль в теоретической физике, помогая лучше понять физическую природу явления. Например, материальная точка в осцилляторе движется «туда-сюда» на отрезке. Физики изобрели фазовую плоскость для координат ${\displaystyle x,p}$ , где точка движется равномерно по окружности, а её проекция на ось ${\displaystyle x}$ есть движение в физическом пространстве. Подобная ситуация возникает в исследовании В. Фока. Математический аналог условно свободного движения возникает в импульсном 4-d пространстве.

В литературе встречается интерпретация результата Фока , в которой электрон в атоме водорода движется якобы свободно в 4-d пространстве на 3-d сфере. При этом наблюдатель из физического 3-d пространства видит проекцию этого движения. Этого утверждения в работе Фока нет, и такая интерпретация физически не адекватна.

См. также

• Метод Хартри — Фока
• Состояние Фока
• Пространство Фока
• Калибровка Фока-Швингера

Примечания

Литература

• Fock, V.A. (2004) V.A. Fock-Selected Works:Quantum Mechanics and Quantum Field Theory. CRC Press.