Interested Article - Симметрия Фока в теории атома водорода

Квантовая задача Кулона (аналог классической задачи Кеплера ), позволяющая рассчитывать спектр системы из двух противоположных зарядов, является до сих пор фундаментальной в квантовой теории . С ней связаны имена основателей физики 20-го века — Н. Бора , А. Зоммерфельда , В. Паули , Э. Шредингера , В. Фока . С неё начинается введение в теорию атомных спектров и она прекрасно изучена методами теории специальных функций . Благодаря своей простоте и заложенной в ней симметрии — группе вращений 4-х мерного пространства SO(4) , она является исключительно полезным и тонким инструментом теоретической физики для построения различных концепций . Реализацию симметрии SO(4) нашел В. Фок в импульсном пространстве . Результат Фока удивляет физиков: почему симметрия SO(4) проявляется в импульсном пространстве, свернутом в 3-d сферу c выходом в 4-d пространство.

Сущность открытия

Напомним предысторию достижения Фока. Два классических векторных интеграла — угловой момент и вектор Рунге-Ленца в квантовой механике соответствуют векторным операторам, которые коммутируют с оператором энергии, то есть с гамильтонианом . Анализ их коммутаторов, проведенный в , показывает, что они порождают алгебру Ли (линейное пространство с операцией коммутирования) совпадающую с алгеброй Ли малых (инфинитезимальных) операторов поворотов 4-х мерного пространства .

Для физиков это соответствие означает, что существует преобразование переменных и операторов, которое переводит исходную квантовую задачу Кулона в некоторое движение частицы на трехмерной 3-d сфере, вложенной в четырёхмерное 4-d пространство. Оператор энергии при этом будет инвариантен при вращениях 3-d сферы. Это напоминает замечательный эффект Л. Кэрола "с парящей улыбкой Чеширского кота ".

Подход Фока поразил современников .Исходным пунктом в его теории является интегральное уравнение Шредингера ( УШ ) в импульсном пространстве. Это пространство можно рассматривать как 3-d плоскость в 4-d пространстве. Затем Фок сворачивает её в сферу с помощью стереографической проекции , известной с античных времен как удобное преобразование глобуса на плоскую карту . (У Фока глобус трехмерный — также как и карта). При этом, Фок угадывает необходимый множитель для пси-функций , чтобы исходное интегральное уравнение перешло в уравнение для сферических функций на 3-d сфере (не путать со сферическими функциями на двумерной сфере). Это уравнение, редко используемое в физике, но известное в теории специальных функций , инвариантно относительно вращений в 4-d пространстве .

Фок не объясняет физический смысл найденного им преобразования . В результате остается принципиальный вопрос — почему симметрия SO(4) реализуется в свернутом импульсном, а не в координатном пространстве, и как электрон «узнал о стереографической проекции» . Позднее, Ефимов С. П. развил теорию В. Фока, с помощью переноса его результата в координатное пространство. . При этом переход от четырёхмерных сферических функций к функциям в физическом пространстве алгебраический (без интегралов) и сопровождается заменой четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус вектор .


Теория Фока

При использовании атомных единиц, когда единица энергии есть , а единица длины равна радиусу Бора , УШ для собственных функций принимает вид:

.

Дапее удобно привести каждую орбиту с радиусом к единому радиусу , то есть заменить радиус вектор на вектор . В результате УШ принимает обманчиво простую форму

где используется снова обозначения and для вектора и его модуля. В этом случае в импульсном представлении аргумент пси-функций растягивается: .

При переходе в импульсное пространство , к собственным функциям УШ необходимо применить преобразование Фурье :

.

Применение его к УШ приводит к свертке по импульсам . Потенциал переходит в функцию , что дает интегральное (не локальное) уравнение:

Отметим, что нелокальность уравнения приводит к тому, что Вектор Лапласа-Рунге-Ленца не фигурирует в импульсном пространстве.

Первый шаг теории Фока следующий: без всякого объяснения функция умножается на множитель .

Второй шаг : 3-d плоскость в импульсном пространстве сворачивается в 3-d сферу с координатами (см. рис.1)

Рис.1 Стереографическая проекция -плоскости на -сферу в 4d-пространстве

Из рисунка видно, что тангенс угла наклона проектирующей (красной) прямой равен:

Отсюда следуют формулы:

Стереографическая проекция удваивает угол наклона и в этом её эффект. Плоский рисунок при этом правильно отражает 4-х мерное преобразование.

В новых переменных, с учётом множителя Фока, собственная функция равна:

Существенно, что проекция является конформным преобразованием . Углы между пересекающимися кривыми сохраняются. Метрика на сфере в координатах пространства импульсов (плоскости p ) равна:

Отсюда коэффициент сжатия элементов пространства p равен . Элемент объёма в формуле (10) заменяем через элемент трехмерной поверхности :

Ядро интеграла удачно (и не очевидно) преобразуется следующим образом:

что не вытекает из конформности. Теперь подставляем последние три соотношения в интегральное уравнение . Получаем:

где, как видно из Рис.1, элемент поверхности на единичной сфере с объёмом равен:

(Интегрирование по плоскому 3-d пространству удобно при расчетах.)

В. Фок далее отсылает к теории сферических функций в четырёхмерном пространстве , где полиномы Гегенбауэра играют важную роль. Однако, в найденное уравнение можно подставить любую сферическую функцию и их сумму с фиксированным значением индекса (n-1), которое соответствует значению n в исходном УШ . В силу этого, уравнение не определяет квантовые числа и . Здесь важно свойство конформности. Повороту на сфере соответствует поворот на тот же угол в импульсном и координатном пространствах, так что функция с множителем переходит в собственную функцию с тем же угловым множителем (но с изменённым аргументом).

Таким образом, необходимое решение интегрального уравнения на 3-d сфере равно

,

где второй множитель есть полином Гегенбауэра .

Неадекватная интерпретация

Математические симметрии играют важную роль в теоретической физике, помогая лучше понять физическую природу явления. Например, материальная точка в осцилляторе движется «туда-сюда» на отрезке. Физики изобрели фазовую плоскость для координат , где точка движется равномерно по окружности, а её проекция на ось есть движение в физическом пространстве. Подобная ситуация возникает в исследовании В. Фока. Математический аналог условно свободного движения возникает в импульсном 4-d пространстве.

В литературе встречается интерпретация результата Фока , в которой электрон в атоме водорода движется якобы свободно в 4-d пространстве на 3-d сфере. При этом наблюдатель из физического 3-d пространства видит проекцию этого движения. Этого утверждения в работе Фока нет, и такая интерпретация физически не адекватна.

См. также

Примечания

  1. L.D. Landau, E.M.Lifshitz. . — Oxford: Pergamon, 1958. — 750 с.
  2. H.A.Bethe, E.E.Salpeter. Quantum mechanics of one and two-electron atoms. — Berlin: Springer, 1957.
  3. J.L. Basdevant, J. Dalibard. . — Berlin,New-York, Heidelberg, 2000.
  4. A.I.Baz, I.A. Zel'dovich, A.M.Perelomov. Scattering,reactions and decays in nonrelativistic quantum mechanics. — Israel: Program for scientific translations, 1969.
  5. S.P.Alliluev. To the question of link of accidental degeneracy with hidden symmetry of physical system // Zh. Eksp. Teor. Fiz : journal. — 1957. — Т. 33 .
  6. A.M. Perelomov,V.S. Popov,M.V. Terent’ev. Ionization of atoms in alternating electric field // Zh. Eksp. Teor. Fiz : journal. — 1966. — Т. 50 .
  7. M.Bander, C.Itzykson. Group theory and the hydrogen atom : journal. — Rev. Mod. Phys, 1966. — Т. 38 , вып. 2 . — doi : .
  8. H. Kleinert. Group Dynamics of the Hydrogen Atom. Lectures in Theoretical Physics. — N. Y. : Edited by W.E. Brittin and A,O. Barut, Gordon and Breach, 1968. — С. 427—482.
  9. L.Hulthén. Über die quantenmechanische Herleitung der Balmerterme : journal. — Zs. f. Phys, 1933. — Т. 86 , вып. 1—2 . — doi : .
  10. V.A.Vock . Wasserstoffatom und Nicht-euklidische Geometrie : journal. — Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et naS., 1935. — Т. 2 .
  11. V.A. Fock . Zȕr Theorie des Wasserstoffatoms : journal. — Zs. f. Phys, 1935. — Т. 98 . — doi : .
  12. V.A.Fock . V. A. Fock- Selected Works: Quantum Mechanics and Quantum Field Theory. — CRC Press, 2004. — doi : .
  13. A.U. Klimuk, N.Y. Vilenkin. Representation of Lie Groups and Special Functions. — Heidelberg: Springer, 1995.
  14. S.P. Efimov. Fock theory modification into coordinate space.Harmonic tensors in quantum Coulomb problem : journal. — Physics-Uspekhi, 2021. — Т. 191 . — doi : .

Литература

  • Fock, V.A. (2004) V.A. Fock-Selected Works:Quantum Mechanics and Quantum Field Theory. CRC Press.
Источник —

Same as Симметрия Фока в теории атома водорода