Гексахлороплатинат(IV) водорода
- 1 year ago
- 0
- 0
Квантовая задача Кулона (аналог классической задачи Кеплера ), позволяющая рассчитывать спектр системы из двух противоположных зарядов, является до сих пор фундаментальной в квантовой теории . С ней связаны имена основателей физики 20-го века — Н. Бора , А. Зоммерфельда , В. Паули , Э. Шредингера , В. Фока . С неё начинается введение в теорию атомных спектров и она прекрасно изучена методами теории специальных функций . Благодаря своей простоте и заложенной в ней симметрии — группе вращений 4-х мерного пространства SO(4) , она является исключительно полезным и тонким инструментом теоретической физики для построения различных концепций . Реализацию симметрии SO(4) нашел В. Фок в импульсном пространстве . Результат Фока удивляет физиков: почему симметрия SO(4) проявляется в импульсном пространстве, свернутом в 3-d сферу c выходом в 4-d пространство.
Напомним предысторию достижения Фока. Два классических векторных интеграла — угловой момент и вектор Рунге-Ленца в квантовой механике соответствуют векторным операторам, которые коммутируют с оператором энергии, то есть с гамильтонианом . Анализ их коммутаторов, проведенный в , показывает, что они порождают алгебру Ли (линейное пространство с операцией коммутирования) совпадающую с алгеброй Ли малых (инфинитезимальных) операторов поворотов 4-х мерного пространства .
Для физиков это соответствие означает, что существует преобразование переменных и операторов, которое переводит исходную квантовую задачу Кулона в некоторое движение частицы на трехмерной 3-d сфере, вложенной в четырёхмерное 4-d пространство. Оператор энергии при этом будет инвариантен при вращениях 3-d сферы. Это напоминает замечательный эффект Л. Кэрола "с парящей улыбкой Чеширского кота ".
Подход Фока поразил современников .Исходным пунктом в его теории является интегральное уравнение Шредингера ( УШ ) в импульсном пространстве. Это пространство можно рассматривать как 3-d плоскость в 4-d пространстве. Затем Фок сворачивает её в сферу с помощью стереографической проекции , известной с античных времен как удобное преобразование глобуса на плоскую карту . (У Фока глобус трехмерный — также как и карта). При этом, Фок угадывает необходимый множитель для пси-функций , чтобы исходное интегральное уравнение перешло в уравнение для сферических функций на 3-d сфере (не путать со сферическими функциями на двумерной сфере). Это уравнение, редко используемое в физике, но известное в теории специальных функций , инвариантно относительно вращений в 4-d пространстве .
Фок не объясняет физический смысл найденного им преобразования . В результате остается принципиальный вопрос — почему симметрия SO(4) реализуется в свернутом импульсном, а не в координатном пространстве, и как электрон «узнал о стереографической проекции» . Позднее, Ефимов С. П. развил теорию В. Фока, с помощью переноса его результата в координатное пространство. . При этом переход от четырёхмерных сферических функций к функциям в физическом пространстве алгебраический (без интегралов) и сопровождается заменой четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус вектор .
При использовании атомных единиц, когда единица энергии есть , а единица длины равна радиусу Бора , УШ для собственных функций принимает вид:
Дапее удобно привести каждую орбиту с радиусом к единому радиусу , то есть заменить радиус вектор на вектор . В результате УШ принимает обманчиво простую форму
|
где используется снова обозначения and для вектора и его модуля. В этом случае в импульсном представлении аргумент пси-функций растягивается: .
При переходе в импульсное пространство , к собственным функциям УШ необходимо применить преобразование Фурье :
Применение его к УШ приводит к свертке по импульсам . Потенциал переходит в функцию , что дает интегральное (не локальное) уравнение:
|
Отметим, что нелокальность уравнения приводит к тому, что Вектор Лапласа-Рунге-Ленца не фигурирует в импульсном пространстве.
Первый шаг теории Фока следующий: без всякого объяснения функция умножается на множитель .
Второй шаг : 3-d плоскость в импульсном пространстве сворачивается в 3-d сферу с координатами (см. рис.1)
Из рисунка видно, что тангенс угла наклона проектирующей (красной) прямой равен:
Отсюда следуют формулы:
Стереографическая проекция удваивает угол наклона и в этом её эффект. Плоский рисунок при этом правильно отражает 4-х мерное преобразование.
В новых переменных, с учётом множителя Фока, собственная функция равна:
Существенно, что проекция является конформным преобразованием . Углы между пересекающимися кривыми сохраняются. Метрика на сфере в координатах пространства импульсов (плоскости p ) равна:
Отсюда коэффициент сжатия элементов пространства p равен . Элемент объёма в формуле (10) заменяем через элемент трехмерной поверхности :
Ядро интеграла удачно (и не очевидно) преобразуется следующим образом:
что не вытекает из конформности. Теперь подставляем последние три соотношения в интегральное уравнение . Получаем:
|
где, как видно из Рис.1, элемент поверхности на единичной сфере с объёмом равен:
(Интегрирование по плоскому 3-d пространству удобно при расчетах.)
В. Фок далее отсылает к теории сферических функций в четырёхмерном пространстве , где полиномы Гегенбауэра играют важную роль. Однако, в найденное уравнение можно подставить любую сферическую функцию и их сумму с фиксированным значением индекса (n-1), которое соответствует значению n в исходном УШ . В силу этого, уравнение не определяет квантовые числа и . Здесь важно свойство конформности. Повороту на сфере соответствует поворот на тот же угол в импульсном и координатном пространствах, так что функция с множителем переходит в собственную функцию с тем же угловым множителем (но с изменённым аргументом).
Таким образом, необходимое решение интегрального уравнения на 3-d сфере равно
где второй множитель есть полином Гегенбауэра .
Математические симметрии играют важную роль в теоретической физике, помогая лучше понять физическую природу явления. Например, материальная точка в осцилляторе движется «туда-сюда» на отрезке. Физики изобрели фазовую плоскость для координат , где точка движется равномерно по окружности, а её проекция на ось есть движение в физическом пространстве. Подобная ситуация возникает в исследовании В. Фока. Математический аналог условно свободного движения возникает в импульсном 4-d пространстве.
В литературе встречается интерпретация результата Фока , в которой электрон в атоме водорода движется якобы свободно в 4-d пространстве на 3-d сфере. При этом наблюдатель из физического 3-d пространства видит проекцию этого движения. Этого утверждения в работе Фока нет, и такая интерпретация физически не адекватна.