С 2002 по 2006 год тренировался в ДЮСШ «Кольцовские надежды» в рабочем посёлке
Кольцово
. С 2006 года живёт и тренируется в Лос-Анджелесе. Является студентом Университета Южной Калифорнии (США).
Впервые выступил на соревнованиях в составе сборной России на чемпионате мира 2011 года в
Шанхае
.
30 сентября 2018 на этапе Кубка мира в голландском Эйндховене побил свой же мировой рекорд на дистанции 100 метров комплексом, показав результат 50,26 секунды
.
22 ноября 2021 Морозов женился. Женой спортсмена стала Евгения Булатова — девушка занимается PR и кризисным менеджментом. Пара познакомилась в Университете Южной Калифорнии (США) в 2018.
Владеет рекордом России на дистанции 50 м в/с (21,27) в длинном бассейне.
Является рекордсменом России на дистанциях 50 м в/с (20,31), 100 м в/с (45,23), 100 м комплексом (50,26), 50 м брасс (25,51) в коротком бассейне.
30 августа 2016 на этапе Кубка мира в Германии завершил дистанцию 100 метров комплексом на короткой воде с мировым рекордом. Он показал результат 50,30 секунды, улучшив своё же достижение на 0,3 секунды.
Первый в истории российского плавания обладатель Кубка мира.
Трёхкратный обладатель Кубка мира (2016, 2018, 2019)