Степень близости узла (к другим узлам) — это мера центральности в сети, вычисляемая как обратная величина суммы длин кратчайших путей между узлом и всеми другими узлами графа. Таким образом, чем более централен узел, тем ближе он ко всем другим узлам.

Определение

Степень близости определил в 1950 году как обратную величину удалённости , то есть

${\displaystyle C(x)={\frac {1}{\sum _{y}d(y,x)}}.}$

где ${\displaystyle d(y,x)}$ равно расстоянию между вершинами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ . Когда говорят о степени близости, обычно имеют в виду её нормализованную форму, которая представляет собой средние кратчайшие пути вместо их суммы. Она обычно даётся предыдущей формулой, умноженной на ${\displaystyle N-1}$ , где ${\displaystyle N}$ равно числу узлов графа. Для больших графов эта разница становится несущественной, так что ${\displaystyle -1}$ опускается:

${\displaystyle C(x)={\frac {N}{\sum _{y}d(y,x)}}.}$

Эта поправка позволяет выполнять сравнение между узлами графов различных размеров.

Рассмотрение расстояний из или в другие узлы не имеет смысла для неориентированных графов, в то время как оно может дать совершенно различные результаты для ориентированных графов (например, web-сайт может иметь высокую степень близости для выходящего соединения, но низкую степень близости для входящих соединений).

В несвязных графах

Если граф не сильно связан , широко распространена идея использования суммы обратных величин к расстояниям вместо обратной величины к сумме расстояний при соглашении, что ${\displaystyle 1/\infty =0}$ :

${\displaystyle H(x)=\sum _{y\neq x}{\frac {1}{d(y,x)}}.}$

Наиболее естественной модификацией определения близости Бавеласа является следующий общий принцип, который предложили Марчиони и Латора (2000) : в графах с неограниченными расстояниями среднее гармоническое ведёт себя лучше, чем среднее арифметическое. Более того, близость Бавелоса можно описать как ненормализованную обратную величину среднего арифметического расстояний, в то время как гармоническая центральность равна ненормализованной величине, обратной среднему гармоническому расстояний.

Эту идею явно высказал для ориентированных графов Деккер под названием значимая центральность ( англ. valued centrality ) и Рочат под названием гармоническая центральность (2009) . Гарг аксиоматизировал понятие (2009) , а Опсал предложил его снова (2010) . Понятие изучали на ориентированных графах общего вида Болди и Вигна (2014) . Эта идея весьма похожа на потенциал сбыта , предложенный Харрисом (1954) , который теперь часто употребляется под названием доступ на рынок .

Варианты

Дангалчев (2006) в работе по уязвимости сетей предложил для неориентированных графов другое определение:

${\displaystyle D(x)=\sum _{y\neq x}{\frac {1}{2^{d(y,x)}}}.}$

Это определение эффективно для несвязанных графов и позволяет использовать удобную формулировку операций над графами. Например:

1. Если граф ${\displaystyle G_{1}+G_{2}}$ создаётся путём соединения узла ${\displaystyle p}$ графа ${\displaystyle G_{1}}$ с узлом ${\displaystyle q}$ графа ${\displaystyle G_{2}}$ , то степень близости комбинированного графа равна: ${\displaystyle D(G_{1}+G_{2})=D(G_{1})+D(G_{2})+(1+D(p))(1+D(q)).}$
2. Если граф ${\displaystyle T(G)}$ является графом-колючкой ( англ. thorn graph ) графа ${\displaystyle G}$ , имеющего ${\displaystyle n}$ узлов, то степень близости ${\displaystyle T(G)}$ равна : ${\displaystyle D(T(G))={\frac {9}{4}}D(G)+n.}$

Естественное обобщение определения :

${\displaystyle D(x)=\sum _{y\neq x}\ {\alpha ^{d(y,x)}},}$

где ${\displaystyle \alpha }$ принадлежит интервалу (0,1). При увеличении ${\displaystyle \alpha }$ с 0 до 1, обобщённая степень близости меняется с локальной характеристики (степени вершины) до глобальной (число связанных узлов).

Информационная центральность Стефенсона и Зелена (1989) является другой мерой близости, которая вычисляет среднее гармоническое расстояний сопротивления в направлении вершины x , которое меньше, если x имеет много путей с малым сопротивлением, соединяющих её с другими вершинами .

В классическом определении степени близости распространение информации моделируется с помощью кратчайших путей. Эта модель может оказаться не вполне реалистичной для некоторых типов сценариев коммуникации. Обсуждались связанные определения меры близости, такие как , которую предложили Нох и Ригер (2004). Этот показатель измеряет скорость, с какой случайные маршруты сообщений достигают вершины отовсюду из графа — вариант степени близости на основе случайных блужданий . Трана и Квона (2014) является расширенным показателем степени близости на основе другого подхода, чтобы обойти ограничения степени близости для графов, не обладающих сильной связностью. Иерархическая центральность явно включает информацию о наборе других узлов, на которые может повлиять данный узел.

См. также

• Центральность
• Степень посредничества

Примечания

Литература

• Mahdieh Azari. ON THE GUTMAN INDEX OF THORN GRAPHS // Kragujevac J. Sci.. — 2018. — Т. 40 . — С. 33—48 .
• Chavdar Dangalchev. Residual Closeness in Networks // Physica A. — 2006. — Т. 365 .
• Chavdar Dangalchev. Residual Closeness of Generalized Thorn Graphs // Fundamenta Informaticae. — 2018. — Т. 162 , вып. 1 .
• Chavdar Dangalchev. Residual Closeness and Generalized Closeness // IJFCS. — 2011. — Т. 22 , вып. 8 .
• Massimo Marchiori, Vito Latora. Harmony in the small-world // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2000. — Т. 285 , вып. 3–4 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : .
• Anthony Dekker. // Journal of Social Structure. — 2005. — Т. 6 , вып. 3 .
• Yannick Rochat. Closeness centrality extended to unconnected graphs: The harmonic centrality index // . — 2009.
• Manuj Garg. Axiomatic Foundations of Centrality in Networks. — 2009. — doi : .
• Tore Opsahl. . — 2010. — Март.
• Paolo Boldi, Sebastiano Vigna. Axioms for Centrality // Internet Mathematics. — 2014. — Т. 10 , вып. 3–4 . — doi : .
• Harris C. D. The, market as a factor in the localization of industry in the united states // Annals of the association of American geographers. — 1954. — Т. 44 , вып. 4 .
• Theresa Gutberlet. Cheap Coal versus Market Access: The Role of Natural Resources and Demand in Germany's Industrialization // Working Paper. — 2014.
• Alex Bavelas. Communication patterns in task-oriented groups // J. Acoust. Soc. Am. — 1950. — Т. 22 , вып. 6 .
• Sabidussi G. The centrality index of a graph // Psychometrika. — 1966. — Т. 31 , вып. 4 . — doi : . — .
• Stephenson K. A., Zelen M. Rethinking centrality: Methods and examples // Social Networks. — 1989. — Т. 11 . — doi : .
• Noh J. D., Rieger H. Random Walks on Complex Networks // Phys. Rev. Lett.. — 2004. — Т. 92 , вып. 11 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : . — .
• Tien-Dzung Tran, Yung-Keun Kwon. Hierarchical closeness efficiently predicts disease genes in a directed signaling network // Computational biology and chemistry. — 2014. — Сентябрь ( т. 53PB ). — ISSN .