Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра , которая может быть построена для любой алгебры Ли , перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

Построение

Ассоциативная алгебра ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle K}$ обладает естественной структурой алгебры Ли над ${\displaystyle K}$ со следующей скобкой Ли : ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$ , то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора . Обозначим эту алгебру Ли ${\displaystyle A_{L}}$ .

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над ${\displaystyle K}$ находят «наиболее общую» ассоциативную ${\displaystyle K}$ -алгебру ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ такую, что алгебра Ли ${\displaystyle U_{L}}$ содержит ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ . Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ соотносятся точь-в-точь так же как и модули над ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ . В типичном контексте, где ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ задаётся , элементы ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Мотивация

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли . Представление ${\displaystyle \rho }$ ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор ${\displaystyle \rho (x)}$ . Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения ${\displaystyle \rho (x)\rho (y)}$ . Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видно одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить ${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=0}$ , в то время как в другом представлении это произведение может быть ненулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойство

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — произвольная алгебра Ли над полем ${\displaystyle K}$ . При заданных ассоциативной алгебре ${\displaystyle U}$ с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L},}$

будем говорить, что ${\displaystyle U}$ является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , если она удовлетворяет следующему универсальному свойству : для любой ассоциативной алгебры ${\displaystyle A}$ с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

${\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to A_{L}}$

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

${\displaystyle g\colon U\to A}$

такой, что

${\displaystyle f=gh.}$

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор , отображающий ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру ${\displaystyle A}$ в соответствующую алгебру Ли ${\displaystyle A_{L}}$ .

Прямое построение

Из этого универсального свойства можно вывести, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра однозначно определяется алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с точностью до изоморфизма. С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов ), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ на векторном пространстве алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , мы получаем ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ факторизацией ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ по соотношениям

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ .

Формально это значит, что

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$ ,

где ${\displaystyle I}$ — двусторонний идеал алгебры ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ , порождённый элементами вида

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b],\quad a,b\in {\mathfrak {g}}.}$

Естественное отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$ задает отображение ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L}}$ , и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышеприведённом универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно переносится на случай .

Примеры

Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ — коммутативна; если выбран базис векторного пространства ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , то ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ может рассматриваться как алгебра многочленов над ${\displaystyle K}$ с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — алгебра Ли группы Ли ${\displaystyle G}$ , то ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на ${\displaystyle G}$ , содержащая ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на ${\displaystyle G}$ ).

Центр алгебры ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ обозначается через ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности ${\displaystyle G}$ центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе ${\displaystyle e}$ группы ${\displaystyle G}$ с операцией свёртки .

дифференциальных операторов от ${\displaystyle n}$ переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга . Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структуры

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ; наиболее важное следствие из неё — это то, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ может рассматриваться как линейное подпространство ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ . Более точно: каноническое отображение ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ всегда инъективно . Более того, ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ порождается ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ как ассоциативная алгебра с единицей.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли , и это действие может быть расширено на представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в эндоморфизмы ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ действует как алгебра производных на ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ , и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ . (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ , инвариантные относительно действия ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (то есть действие на них любого элемента ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тривиально), называются инвариантными элементами . Они порождаются инвариантами Казимира .

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов. ${\displaystyle U}$ — функтор из категории алгебр Ли над ${\displaystyle K}$ в категорию ассоциативных ${\displaystyle K}$ -алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle A_{L}}$ . Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию ${\displaystyle A_{L}}$ : если начать с ассоциативной алгебры ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle U(A_{L})}$ не равна ${\displaystyle A}$ ; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ изоморфна абелевой категории всех левых модулей ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ .

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогично построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения , которая превращает их в алгебры Хопфа .

Литература

• Dixmier, Jacques. . — Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. — Т. 11. — 379 с. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0560-6 .
• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — Москва: Мир, 1969. — 376 с. — ISBN 978-5-458-50774-5 .
• Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — 2-е изд., доп. — Москва: МЦНМО, 2007. — 552 с. — ISBN 978-5-94057-302-9 .