Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию . Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо , поле , алгебра , оснащённые дифференцированием, называются дифференциальным кольцом , дифференциальным полем , дифференциальной алгеброй соответственно.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$ — алгебра над кольцом ${\displaystyle R}$ . Дифференцирование алгебры ${\displaystyle A}$ — это ${\displaystyle R}$ -линейное отображение ${\displaystyle \partial :A\to A}$ , удовлетворяющее тождеству Лейбница:

${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}$

В более общем случае дифференцирование коммутативной ${\displaystyle A}$ со значениями в ${\displaystyle A}$ -модуле ${\displaystyle M}$ — это ${\displaystyle R}$ -линейное отображение ${\displaystyle \partial :A\to M}$ , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае ${\displaystyle M}$ называют дифференциальным модулем над ${\displaystyle A}$ Множество всех дифференцирований со значениями в ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {D} (M)}$ ( ${\displaystyle \mathrm {Der} (M)}$ , ${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$ ) и является ${\displaystyle A}$ -модулем. Функтор ${\displaystyle \mathrm {D} }$ является представимым , его представляющий объект обозначается ${\displaystyle \Lambda ^{1}(A)}$ или ${\displaystyle \Omega _{A/R}^{1}}$ и называется модулем кэлеровых дифференциалов . ${\displaystyle \Lambda ^{1}(A)}$ является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над ${\displaystyle A}$ , то есть существует такое дифференцирование ${\displaystyle d:A\to \Lambda ^{1}(A)}$ , что любое дифференцирование ${\displaystyle \delta \in \mathrm {D} (M)}$ пропускается через ${\displaystyle d}$ :

${\displaystyle \exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d}$

Свойства

${\displaystyle \mathrm {D} (A)}$ имеет естественную структуру алгебры Ли : ${\displaystyle \mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)}$ .

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если ${\displaystyle A}$ — алгебра с единицей, то для любого ${\displaystyle A}$ -модуля ${\displaystyle M}$ выполнено:

${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M}$ ,

где ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)}$ — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle M}$ .

${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$ является функтором из ${\displaystyle ({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)}$ в ${\displaystyle A-{\mathcal {M}}od}$ .

Градуированное дифференцирование

Для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ - градуированной алгебры ${\displaystyle A}$ с градуировкой элемента ${\displaystyle a\in A}$ , обозначаемой ${\displaystyle |a|}$ , аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями ${\displaystyle \mathrm {D} :A\to A}$ степени ${\displaystyle |\mathrm {D} |}$ , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Лейбница ( ${\displaystyle \varepsilon =\pm }$ ):

${\displaystyle \mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)}$

Если ${\displaystyle \varepsilon =1}$ , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если ${\displaystyle \varepsilon =-1}$ , то их обычно называют супердифференцированиями . Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

${\displaystyle [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}}$ .

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм .

Литература

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), , Springer-Verlag .