Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм , отображающий алгебраическую систему в себя.

В любой категории композиция двух эндоморфизмов ${\displaystyle X}$ также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта ${\displaystyle X}$ образуют моноид , который обозначается ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$ (или ${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)}$ , чтобы подчеркнуть категорию ${\displaystyle C}$ ).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма ) называется автоморфизмом . Множество автоморфизмов является подмножеством ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$ с естественной структурой группы , оно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ .

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу ${\displaystyle (f+g)(a)=f(a)+g(a)}$ . С определённым таким образом сложением эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо , называемое . Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ — это кольцо всех ${\displaystyle n\times n}$ матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории . Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо , а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо .

Литература

• Nathan Jacobson . Basic algebra (неопр.) . — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1 .
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .