Присоединённым представлением алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется линейное представление ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в модуле ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , действующее по формуле

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}y=[x,y],\ \ x,y\in {\mathfrak {g}},}$

где ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ― операция в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ .

Свойства

• Ядро ${\displaystyle \ker \operatorname {ad} }$ есть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ .
• Присоединённые операторы ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ являются дифференцированиями алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и называются внутренними дифференцированиями .
• Образ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}}$ всех дифференцирований алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , причём ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ есть пространство ${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})}$ 1-мерных ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , определяемых присоединённым представлением.
  • В частности, ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}=\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ , если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.

Литература

• Джекобсон Н. Алгебры Ли, — М. , 1964;
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — М. , 1973;
• Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., М. , 1969;
• Хамфрис Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

См. также

• Присоединённое представление группы Ли