Двойственность Понтрягина — обобщение преобразования Фурье на локально компактные абелевы группы.

Построение

Пусть G — локально компактная абелева топологическая группа . В таком случае группа характеров G ( гомоморфизмов из G в U(1) ) тоже будет локально-компактной и называется двойственной группой по Понтрягину ( G^ ).

Согласно теореме Понтрягина о двойственности , группа G^^ канонически изоморфна G , это оправдывает использование термина двойственность . Слово «канонически» означает, что существует естественное отображение из G в G^^ , в частности, оно является функториальным . Это отображение определяется следующим образом:

${\displaystyle x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}.}$

Другими словами, элементу x группы G сопоставляется отображение из G^ в U(1) , то есть элемент G^^ .

Мотивировка

Двойственность Понтрягина единообразно описывает целый ряд известных наблюдений, связанных с функциями на вещественной оси или на конечной абелевой группе:

• комплекснозначные достаточно гладкие периодические функции на вещественной оси имеют разложение в ряд Фурье и могут быть восстановлены по этому разложению
• комплекснозначные достаточно гладкие и удовлетворяющие некоторым условиям убывания функции на вещественной прямой имеют образ Фурье (это функция, определённая также на всей вещественной прямой) и могут быть по нему восстановлены
• комплекснозначные функции на конечной абелевой группе также имеют дискретное преобразование Фурье , которое является функцией на двойственной группе (двойственная группа изоморфна исходной, но не каноническим образом). Опять же, функция может быть восстановлена по её образу.
• хорошо известен частный случай предыдущего пункта, когда функция и её образ рассматриваются на кольце остатков Z_p. Этот случай обычно и подразумевается, когда говорят о дискретном преобразовании Фурье .

Теория двойственности Понтрягина существенно опирается на теорию двойственных групп к локально компактным абелевым группам. Эта двойственность во многом напоминает связь между конечномерным векторным пространством V и сопряжённым пространством V*. Между ними не существует канонического изоморфизма, однако алгебры их линейных преобразований (алгебры матриц ) канонически изоморфны (изоморфизм — транспонирование матрицы ). Аналогично, между группой G и двойственной к ней G^ в общем случае нет изоморфизма, однако их групповые алгебры изоморфны, и связывающий их канонический изоморфизм и есть преобразование Фурье.

Примеры

Приведём примеры локально компактных абелевых групп:

• R ⁿ , рассматриваемое как группа по сложению.
• R ₊ , множество положительных вещественных чисел, рассматриваемых как группа по умножению. Изоморфна R .
• Любая конечная абелева группа с дискретной топологией . Любая подобная группа может быть представлена как произведение циклических.
• Множество целых чисел Z , рассматриваемое как группа по сложению.
• Поле Z _p p-адических чисел , как группа относительно сложения со стандартной p-адической топологией.

Группа U(1) и группа целых чисел двойственны друг другу, а ( аддитивные ) группы действительных и комплексных чисел двойственны сами себе. Самодвойственны также все конечные абелевы группы , в частности, конечные циклические группы .

Мера Хаара

Одно из самых важных свойств локально компактных групп состоит в том, что на них имеется единственная (с точностью до глобальной константы) естественная мера, называемая мерой Хаара. При помощи этой меры можно определить «размер» борелевских подмножеств группы. Борелевские подмножества — это элементы σ-алгебры , порождённой замкнутыми подмножествами G .

Более точно, имеется единственная (с точностью до константы) правая мера Хаара, обладающая правой инвариантностью μ( Ax ) = μ( A ). Здесь x — элемент группы, а А — борелевское подмножество G .

Введенная на G мера Хаара позволяет ввести понятие интеграла от комплекснозначных борелевских функций, определённых на группе. В частности, можно рассматривать пространства L ^p , определённые следующим образом:

${\displaystyle L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f:G\rightarrow \mathbf {C} \;\left|\;\int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right.\right\}.}$

Поскольку с точностью до константы мера Хаара единственна, введённые пространства не зависят от выбора конкретной меры, то есть зависят только от самой группы G , поэтому логично обозначить их L ^p (G) . С другой стороны, норма на этих пространствах зависит от выбора меры.

Литература

Моррис Сидней. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп = Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups. — Москва: Мир, 1980. — С. 104.