Касательное расслоение гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ — векторное расслоение над ${\displaystyle M}$ , слой которого в точке ${\displaystyle x\in M}$ является касательным пространством ${\displaystyle T_{x}M}$ в точке ${\displaystyle x}$ . Касательное расслоение обычно обозначается ${\displaystyle TM}$ .

Элемент тотального пространства ${\displaystyle TM}$ — это пара ${\displaystyle (x,\;v)}$ , где ${\displaystyle x\in M}$ и ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ . Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и , превращающими его в многообразие. Размерность ${\displaystyle TM}$ равна удвоенной размерности ${\displaystyle M}$ .

Топология и гладкая структура

Если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })}$ , где ${\displaystyle U_{\alpha }}$ — открытое подмножество ${\displaystyle M}$ и

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

— гомеоморфизм .

Эти локальные координаты на ${\displaystyle U}$ порождают изоморфизм между ${\displaystyle T_{x}M}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для любого ${\displaystyle x\in U}$ . Можно определить отображение

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}}$

как

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).}$

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$ .

Подмножество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle TM}$ открыто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))}$ — открытое в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ для любого ${\displaystyle \alpha }$ . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств ${\displaystyle TM}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ , поэтому они образуют карты гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$ . Функции перехода на пересечениях карт ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ .

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением . Касательное расслоение ${\displaystyle n}$ -мерного многообразия ${\displaystyle M}$ можно определить как векторное расслоение ранга ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle M}$ , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры

• Простейший пример получается для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Единичная окружность ${\displaystyle S^{1}}$ . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$ . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
• Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере ${\displaystyle S^{2},}$ это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа .

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой ${\displaystyle R}$ и единичной окружности ${\displaystyle S^{1}}$ , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-мерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии ${\displaystyle M}$ , значение которой в каждой точке — вектор, касательный к ${\displaystyle M}$ , то есть гладкое отображение

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

такое, что образ ${\displaystyle x}$ , обозначаемый ${\displaystyle V_{x}}$ , лежит в ${\displaystyle T_{x}M}$ — касательном пространстве в точке ${\displaystyle x}$ . На языке локально тривиальных расслоений , такое отображение называется сечением . Векторное поле на ${\displaystyle M}$ — это сечение касательного расслоения над ${\displaystyle M}$ .

Множество всех векторных полей над ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ . Векторные поля можно складывать поточечно:

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

и умножать на гладкие функции на ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x},}$

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на ${\displaystyle M}$ (обозначается ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ).

Если ${\displaystyle f}$ есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ даёт новую гладкую функцию ${\displaystyle Xf}$ . Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

• Аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh}$ .
• Правило Лейбница : ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)}$ .

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на ${\displaystyle M}$ — это локальное сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle M}$ , при этом в каждой точке из ${\displaystyle U}$ задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на ${\displaystyle M}$ образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над ${\displaystyle M}$ .

Каноническое векторное поле на TM

На каждом касательном расслоении ${\displaystyle TM}$ можно определить каноническое векторное поле. Если ${\displaystyle (x,\;y)}$ — локальные координаты на ${\displaystyle TM}$ , то векторное поле имеет вид

${\displaystyle V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.}$

${\displaystyle V}$ является отображением ${\displaystyle V\colon TM\to TTM}$ .

Существование такого векторного поля на ${\displaystyle TM}$ можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении .

См. также

• Дифференциал отображения
• Векторное поле
• Распределение — подрасслоение касательного расслоения
• Кокасательное расслоение
• Метрика Сасаки — естественная метрика на касательном расслоении риманова многообразия.

Ссылки

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5 .
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7 .
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3 .
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2 .
• Todd Rowland. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (англ.) на сайте PlanetMath .