Абелева категория — категория , в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп . Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение

Предаддитивная категория является абелевой, если:

• в ней существует нулевой объект ,
• существуют все бинарные произведения и копроизведения ,
• существуют все ядра и коядра,
• все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны .

Это определение эквивалентно следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна , в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны .

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

Примеры

• Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
• Если ${\displaystyle R}$ — кольцо , то категория левых (или правых) модулей над ${\displaystyle R}$ абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
• Если ${\displaystyle R}$ — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых ${\displaystyle R}$ -модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
• Если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство , то категория пучков абелевых групп на ${\displaystyle X}$ абелева.

Аксиомы Гротендика

В статье Sur quelques points d’algèbre homologique Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .

• AB3) Для любого множества объектов ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ существует копроизведение ${\displaystyle \oplus A_{i}}$ . Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .
• AB4) ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором ).
• AB5) ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ удовлетворяет аксиоме AB3) и точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ подобъектов объекта ${\displaystyle A}$ и любого ${\displaystyle B}$ — подобъекта объекта ${\displaystyle A}$ верно, что ${\displaystyle \sum (A_{i}\cap B)=\sum (A_{i})\cap B.}$

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы ). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):

• AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
• AB2) Для любого морфизма ${\displaystyle f:A\to B}$ канонический морфизм из ${\displaystyle \mathrm {coim} f}$ в ${\displaystyle \mathrm {im} f}$ является изоморфизмом. (Здесь ${\displaystyle \mathrm {coim} f=A/\mathrm {ker} f}$ ).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

История

Понятие абелевой категории было предложено в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году . В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.

Примечания

Литература

• D. A. Buchsbaum. Exact categories and duality // Transactions of the American Mathematical Society . — 1955. — Т. 80 , № 1 . — С. 1–34 . — ISSN . — doi : . — JSTOR .
• Peter Freyd. . — N. Y. : Harper and Row, 1964.
• A. Grothendieck. // The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. — 1957. — Т. 9 . — С. 119–221 . — ISSN .
• Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. — Cambridge University Press, 1994.