Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений , алгебраической геометрии , K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика , который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть ${\displaystyle M}$ — коммутативный моноид , т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом . Операцию в ${\displaystyle M}$ назовём сложением . Группа Гротендика моноида ${\displaystyle M}$ (обозначается обычно ${\displaystyle K}$ или ${\displaystyle K_{0}}$ ) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида ${\displaystyle M}$ до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть ${\displaystyle M}$ — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика ${\displaystyle K}$ должна обладать следующим универсальным свойством : существует гомоморфизм моноидов

${\displaystyle i\colon M\rightarrow K}$

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

${\displaystyle f\colon M\rightarrow A}$

в абелеву группу ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм абелевых групп

${\displaystyle g\colon K\rightarrow A}$

такой, что

${\displaystyle f=g\circ i.}$

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид ${\displaystyle M}$ в его группу Гротендика ${\displaystyle K}$ , является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение

Рассмотрим декартово произведение ${\displaystyle M\times M}$ , элементами которого являются пары ${\displaystyle (a,b)}$ , где ${\displaystyle a,b\in M}$ . По определению, пары ${\displaystyle (a,b)}$ соответствуют разностям ${\displaystyle a-b}$ , сложение которых задается формулой

${\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').}$

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида ${\displaystyle M}$ ).

Для того, чтобы определить группу Гротендика ${\displaystyle K}$ , нужно ввести на множестве ${\displaystyle M\times M}$ отношение эквивалентности , при котором эквивалентными являются элементы ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (a',b')}$ , для которых выполнено равенство

${\displaystyle a+b'+c=a'+b+c}$

с некоторым элементом ${\displaystyle c\in M}$ . Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента ${\displaystyle (a,b)}$ включает в себя элементы ${\displaystyle (a+c,b+c)}$ при всех ${\displaystyle c\in M}$ . Этот класс называется формальной разностью элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle a-b}$ .

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика ${\displaystyle K}$ моноида ${\displaystyle M}$ .

Нейтральный (нулевой) элемент группы ${\displaystyle K}$ — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида ${\displaystyle (a,a)}$ при всевозможных ${\displaystyle a\in M}$ . Элемент, противоположный к элементу ${\displaystyle (a,b)}$ , имеет вид ${\displaystyle (b,a)}$ (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение ${\displaystyle M\to K}$ , которое позволяет считать ${\displaystyle K}$ расширением ${\displaystyle M}$ . Именно, каждому элементу ${\displaystyle a\in M}$ ставится в соответствие формальная разность ${\displaystyle a-0}$ , т.е. класс элементов ${\displaystyle (a+c,c)}$ при всевозможных ${\displaystyle c\in M}$ .

Примеры

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел ${\displaystyle n-m}$ с отношением эквивалентности

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.}$

Теперь определим

${\displaystyle n:=[n-0],}$

${\displaystyle -n:=[0-n]}$

для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Эта конструкция определяет целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Ссылки

• от 14 мая 2011 на Wayback Machine на PlanetMath .
• Michael Atiyah . K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3 .