Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Топологическое подмногообразие

В узком смысле слова топологическое ${\displaystyle n}$ -мерное подмногообразие ${\displaystyle N}$ топологического ${\displaystyle m}$ -мерного многообразия ${\displaystyle M}$ ― такое подмножество ${\displaystyle N\subset M}$ , которое в индуцированной топологии является ${\displaystyle n}$ -мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое ${\displaystyle n}$ -мерное подмногообразие топологического ${\displaystyle m}$ -мерного многообразия ${\displaystyle M}$ ― такое ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие ${\displaystyle N}$ , которое как множество точек является подмножеством ${\displaystyle M}$ (иными словами, ${\displaystyle N}$ ― это подмножество ${\displaystyle M}$ , снабженное структурой ${\displaystyle n}$ -мерного многообразия) и для которого тождественное вложение ${\displaystyle i:N\to M}$ является погружением .

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда ${\displaystyle i}$ есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки ${\displaystyle p\in N}$ имеется сколь угодно малые окрестности в ${\displaystyle N}$ , являющиеся пересечениями с ${\displaystyle N}$ некоторых окрестностей в ${\displaystyle M}$ ).

Связанные определения

• Число ${\displaystyle m-n}$ называется коразмерностью подмногообразия ${\displaystyle N}$ .
• Подмножество ${\displaystyle N\subset M}$ является локально плоским подмногообразием , если для каждой точки ${\displaystyle p\in N}$ имеются такая окрестность ${\displaystyle U}$ этой точки в ${\displaystyle M}$ и такие локальные координаты ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{m}}$ в ней, что в терминах этих координат ${\displaystyle N\cap U}$ описывается уравнениями ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=...=x_{m}=0}$ .
  • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского .

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от ${\displaystyle \mathbb {R} }$ к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.