Interested Article - Ротор (дифференциальный оператор)

Ро́тор , рота́ция [ источник не указан 1245 дней ] или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем .

Обозначается разными способами:

  • (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
  • (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом ),
  • — как дифференциальный оператор набла , векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: .

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле называется ротором поля или просто ротором и представляет собой новое векторное поле:

Поле (длина и направление вектора в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле ( ) вращательную составляющую поля в соответствующих точках.

Определение

Ротор векторного поля — есть вектор, проекция которого на каждое направление есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру , являющемуся краем плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку :

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур обходился по часовой стрелке .

Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — .

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

,

что может быть записано в конкретных координатах как это показано .

Иногда можно встретиться с таким альтернативным определением

,
где — точка, в которой определяется ротор поля ,
— какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку внутри и в пределе стягивающаяся к ней,
— вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,
знаком обозначено векторное произведение,
— объём внутри поверхности .

Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ

Если — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно , где — эта угловая скорость.

  • Простую иллюстрацию этого факта — .

Эта аналогия может быть проведена вполне строго ( ). Основное определение через циркуляцию , данное , можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами , а орты декартовых координат):

,

или

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

(последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель ).

Формула ротора в криволинейных координатах

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна ):

,

где — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель , метрический тензор в представлении с верхними индексами, , а ковариантные производные от контравариантных координат вектора .

Это выражение может быть также переписано в виде:

.

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

,

где коэффициенты Ламе .

Обобщения

  • Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:
Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла:
  • Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).
  • Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами и ) введена структура комплексного пространства (с координатой ) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции , тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной
ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:
,
.

Основные свойства

  • Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей и и для любых чисел (констант) и
.
  • Если — скалярное поле (функция), а — векторное, тогда:
,
.
  • Если поле потенциально , его ротор равен нулю (поле — безвихревое):
.
  • Обратное верно локально : если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле , что будет его градиентом):
Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).
,
.
  • Обратное свойство также выполняется локально — если поле бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля , называемого его векторным потенциалом :
.
  • Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:
Таким образом, если и — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если , а , легко найти векторный потенциал для :
.
Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.
  • Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:
.
  • Ротор векторного произведения полей равен:
.

Физическая интерпретация

При движении сплошной среды распределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши — Гельмгольца:

,

где — вектор углового вращения элемента среды в точке , а квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке справедливо равенство , и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Формула Кельвина — Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина .

Примеры

  • В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение

Простой пример

Рассмотрим векторное поле , зависящее от координат и так:

.
  • В отношении этого примера нетрудно заметить, что , где — радиус-вектор, а , то есть поле можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси ). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта ).
  • -компоненту поля будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от ) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси . В данном случае ротор оказался константой, то есть поле оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

  • угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно , точно совпала с тем, что указано в параграфе , то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта . (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат ).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле :

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \mathbf F(x,y)=-x^2 \mathbf e_y} .

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке , чем в точке . Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении . Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении . Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении для отрицательных и для положительных , как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор с плоскостью , выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от или (как и должно быть) и направлен по для положительных и в направлении для отрицательных .

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение ). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значение ).
  • Для векторного поля скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения ( ). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея , одно из уравнений Максвелла , просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
  • Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения .

Важный контринтуитивный пример

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривления векторных линий векторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости определено формулой:

,
.

Если , течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси против часовой стрелки), однако если и — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый её маленький объём — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

Примечания

  1. Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, и почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» (возможно, из-за неблагозвучности: англ. rot — гниль, гниение) [ источник не указан 2944 дня ] .
  2. О. Хэвисайд . от 22 июля 2016 на Wayback Machine . // The Electrician, 1882.
  3. Точнее — если псевдовекторное поле, то — обычное векторное поле (вектор — полярный), и наоборот, если поле — поле обычного (полярного) вектора, то — псевдовекторное поле.
  4. Стягивание в точку — обязательное условие, просто стремления к нулю недостаточно, ведь мы хотим получить характеристику поля в одной конкретной точке.
  5. Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
  6. Эквивалентность этих определений, если предел существует и не зависит от способа стягивания точке, видна, если выбрать поверхность второго определения в виде цилиндрической поверхности с основаниями, полученными параллельным переносом площадки первого определения на очень маленькое расстояние в двух противоположных направлениях ортогонально к . В пределе же они должны приближаться к быстрее, чем уменьшается размер самой . Тогда выражение второго определения разбивается на два слагаемых, одно, содержащее интеграл по боковой поверхности, совпадает с первым определением, а второе даёт ноль в проекции на нормаль к основаниям, поскольку на основаниях само ортогонально ему. Можно вместо этого рассмотреть просто маленький параллелепипед в качестве поверхности, тогда не столь легко сразу строго, но в целом понятно аналогичное.
  7. Формально сходным с определением дивергенции через поток через поверхность:
    .
  8. Оговорка о локальности важна для общего случая, когда рассматриваемые здесь поля и могут быть определены на пространстве (многообразии) или области нетривиальной топологии, и когда условия также выполняется вообще говоря на пространстве или области нетривиальной топологии. Для случая евклидова пространства или его односвязной области оговорка о локальности не нужна, поле, ротор которого нуль на всем таком пространстве или односвязной области, будет потенциальным на всем этом пространстве или этой области. То есть тогда найдётся такое скалярное поле , что будет верно везде на этом пространстве или этой области.
  9. Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку ; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) — ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси , под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость не будет уже константой, однако будет нулем при , как и в основном примере, то есть вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).
  10. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

Источник —

Same as Ротор (дифференциальный оператор)