Interested Article - Шестая проблема Гильберта

Шестая проблема Гильберта — одна из проблем , поставленных Давидом Гильбертом в его докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эта проблема посвящена вопросу аксиоматизации теоретической физики . Проблему можно считать частично решенной или некорректно поставленной в зависимости от интерпретации первоначальной формулировки Гильберта. .

Проблема в формулировке Гильберта

Шестую проблему Гильберт формулировал следующим образом (перевод с английского издания ):

"6. Математическая трактовка аксиом физики. Исследования основ геометрии наталкивают на проблему: таким же образом, с помощью аксиом, трактовать те физические науки, в которых уже сегодня математика играет важную роль; на первом месте стоят теория вероятностей и механика."

С дальнейшим пояснением:

"Что касается аксиом теории вероятностей, то мне кажется желательным, чтобы их логическое исследование сопровождалось строгим и удовлетворительным развитием метода средних значений в математической физике и, в частности, в кинетической теории газов. ... Работа Больцмана о принципах механики выдвигает проблему математического развития ограничивающих процессов, которые там просто указаны, которые ведут от атомистического взгляда к законам движения сплошных сред."

Сам Гильберт считал важнейшими два вопроса.

Аксиоматизацию теории вероятностей , которая является фундаментом статистической физики .
Строгую теорию предельных процессов «которые ведут от атомистической точки зрения к законам движения континуума».

В 1933 году Колмогоров на базе теории меры построил аксиоматику теории вероятностей, которая сегодня является общепринятой.

В 1990—2000 годы несколькими группами математиков были получены важные результаты и по второму вопросу

Современное состояние проблемы

В настоящее время наиболее общими аксиоматически построенными физическими теориями являются общая теория относительности , которая описывает гравитационное взаимодействие и квантовая механика со стандартной моделью , которые описывают три остальных взаимодействия. Но поскольку квантовой теории гравитации пока не существует, эти теории нельзя объединить. В этом смысле шестая проблема Гильберта не решена.

Примечания

David Hilbert . (нем.) . — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Дата обращения: 27 августа 2009. Архивировано из 17 июля 2009 года.
Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева , опубликован в книге / под ред. П. С. Александрова . — М. : Наука, 1969. — С. 36—37. — 240 с. — 10 700 экз. 17 октября 2011 года. . Дата обращения: 5 июля 2014. Архивировано из 17 октября 2011 года.
Corry L. David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905) // Arch. Hist. Exact Sci. — 51 (1997). — no. 2. — pp. 83—198. — DOI 10.1007/BF00375141.
Hilbert, David. (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1902. — Vol. 8 , no. 10 . — P. 437—479 . — doi : . 6 июля 2018 года.
Saint-Raymond L. Hydrodynamic limits of the Boltzmann equation // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 1971. — Berlin: Springer-Verlag, 2009.
Slemrod M. From Boltzmann to Euler: Hilbert’s 6th problem revisited // Comput. Math. Appl. — 65 (2013). — no. 10. — pp. 1497—1501. — MR 3061719. — DOI:
Gorban A. N. , Karlin I. от 30 декабря 2013 на Wayback Machine // Bull. Amer. Math. Soc. — 51 (2014). — no. 2. — 186—246. — DOI: .
Наиболее удачную математическую модель для квантовой механики построил фон Нейман на основе теории гильбертовых пространств
Theme issue . Phil. Trans. R. Soc. A . 376 (2118). 2018. doi : .