Восьмая проблема Гильберта — одна из проблем , поставленных Давидом Гильбертом в его докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Восьмая проблема Гильберта состоит из двух задач, относящихся к теории простых чисел . Это гипотеза Римана и проблема Гольдбаха .

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана и утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ${\displaystyle {1 \over 2}}$ . Многие утверждения о распределении простых чисел доказаны в предположении справедливости гипотезы Римана. В настоящее время ( 2021 год ) она не доказана и входит в список семи проблем тысячелетия .

Проблема Гольдбаха

Проблема Гольдбаха состоит из двух гипотез.

Бинарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое чётное число , начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел .

Более слабая тернарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число , начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Из справедливости бинарной гипотезы вытекает справедливость тернарной гипотезы Гольдбаха, но в настоящее время бинарная гипотеза Гольдбаха не доказана. Иван Виноградов в 1937 году доказал, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю при росте длины рассматриваемого отрезка). Из справедливости доказанной тернарной гипотезы Гольдбаха вытекает, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

Виноградов в 1937 году доказал справедливость тернарной гипотезы Гольдбаха для всех чисел, больших некоторой константы . Однако нижняя граница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа с помощью компьютера в XX веке не удалось. Для всех чисел теорема была доказана только в 2013 году Харальдом Гельфготтом

Примечания

Литература

• / под ред. П. С. Александрова . — М. : Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. от 17 октября 2011 на Wayback Machine