Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел , согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле , чья группа Галуа над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является абелевой , — является подполем некоторого кругового поля , то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера , Кронекер осуществил основную часть доказательства в 1853 году , в 1886 году Вебер и Гильберт заполнили некоторые логические пробелы. Теорема может быть доказана прямыми алгебраическими построениями, но также является простым следствием результатов теории полей классов .

Для заданного абелевого расширения ${\displaystyle K}$ поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ можно определить минимальное круговое поле, содержащее ${\displaystyle K}$ . Для заданного ${\displaystyle K}$ можно определить такое наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ , что ${\displaystyle K}$ является подполем поля, порождённого корнем из единицы ${\displaystyle n}$ -й степени. Например, для квадратичных полей таким числом является абсолютная величина их дискриминанта .

Вопрос распространения теоремы на произвольное числовое поле — одна из проблем Гильберта ( 12-я ), по состоянию на 2022 год проблема остаётся нерешённой.

Литература

• Greenberg, M. J. (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6, 1974. — Vol. 81 , no. 6 . — P. 601—607 . — doi : .