Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем , поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример . Им была построена подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена Стейнбергом в его работе 1997 года .

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций ${\displaystyle X_{1},...,X_{m}}$ от переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ :

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}X_{1}=f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\X_{2}=f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\X_{m}=f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{array}}\right\}\qquad \qquad (S)}$

Всякая целая рациональная связь между ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ , если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ . Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ , которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ . Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ . <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ , через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры ${\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ , где ${\displaystyle K}$ — порождённое ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле ${\displaystyle k\subset K\subset k(x_{1},\dots ,x_{n})}$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть ${\displaystyle K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра ${\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ конечно порождена?

Конечная порождённость алгебры инвариантов

Литература

• И. В. Аржанцев. Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта. — М. : МЦНМО, 2009. — 64 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-491-0 .
• / под ред. П. С. Александрова . — М. : Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. от 17 октября 2011 на Wayback Machine