Трансцендентное число
- 1 year ago
- 0
- 0
Трансценде́нтное число́ (от лат. transcens — переходить за предел, превосходить ) — это вещественное или комплексное число , не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю) . Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.
Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств , трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально , а множество алгебраических счётно .
Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным , но обратное неверно. Например, число — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения (и потому является алгебраическим).
В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем , трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.
Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега ) трансцендентного числа равна 2.
Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде « De relation inter tres pluresve quantitates instituenda » (1775 год) . Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы ; он заявил, что значение логарифма для рациональных чисел не является алгебраическим (« радикальным », как тогда говорили) , за исключением случая, когда для некоторого рационального Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.
Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году , когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры (« числа Лиувилля »), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.
В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e , основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа и неразрешимость задачи квадратуры круга .
В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему : «Если , — алгебраическое число, и — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом , который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.
В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P .
Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел .