Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},}$

в котором коэффициенты ${\displaystyle a_{n}}$ принадлежат некоторому кольцу ${\displaystyle R}$ .

В отличие от степенных рядов в анализе , формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре , топологии , комбинаторике . Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений .

Основные понятия

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ( ${\displaystyle +}$ ), умножения ( ${\displaystyle \cdot }$ ), формального дифференцирования ( ${\displaystyle '}$ ) и композиции ( ${\displaystyle \circ }$ ) следующим образом. Пусть

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}$

Тогда

${\displaystyle H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n};}$

${\displaystyle H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};}$

${\displaystyle H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1};}$

${\displaystyle H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\ldots b_{k_{s}}}$ (при этом необходимо, чтобы ${\displaystyle b_{0}=0}$ ).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом ${\displaystyle R}$ сами образуют кольцо, обозначаемое ${\displaystyle R[[X]]}$ .

Метрика и топология

В кольце ${\displaystyle R[[X]]}$ также можно задать топологию , порождаемую следующей метрикой :

${\displaystyle d((a_{n}),\;(b_{n}))=2^{-k},}$

где ${\displaystyle k}$ — наименьшее натуральное число такое, что ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$ .

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными , и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо .

Обратимые элементы

Формальный ряд

${\displaystyle F(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в ${\displaystyle R[[X]]}$ является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{0}}$ является обратимым в ${\displaystyle R}$ . Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$ , и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда ${\displaystyle G(X)}$ определяются по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\qquad \forall n\geqslant 1.F(X)G(X)=1\end{aligned}}}$

Если же ${\displaystyle F(0)=0}$ , а также ${\displaystyle F'(0)\not =0}$ , то найдётся ряд ${\displaystyle G(X)}$ (аналогично ${\displaystyle H(X)}$ ), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что ${\displaystyle F(G(X))=X}$ (аналогично ${\displaystyle H(F(X))=X)}$ ).

При этом будет выполнено ${\displaystyle G(0)=0}$ (аналогично ${\displaystyle H(0)=0}$ ). Оставшиеся коэффициенты ряда ${\displaystyle G(X)}$ ( ${\displaystyle H(X)}$ ) можно выразить через коэффициенты ${\displaystyle F(X)}$ пошагово дифференцируя равенство ${\displaystyle F(G(X))=X}$ (аналогично ${\displaystyle H(F(X))=X)}$ ) и подставляя в него ${\displaystyle X=0}$ .

Свойства

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы ${\displaystyle M}$ , для которых ${\displaystyle M\cap R}$ является максимальным идеалом в ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle M}$ есть порождение ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle M\cap R}$ .
• Если ${\displaystyle R}$ является локальным кольцом , то локальным кольцом является также ${\displaystyle R[[X]]}$ .
• ${\displaystyle R}$ — нётерово кольцо , то ${\displaystyle R[[X]]}$ также является кольцом Нётер.
• Если ${\displaystyle R}$ — область целостности , то ${\displaystyle R[[X]]}$ также будет областью целостности.
• Метрическое пространство ${\displaystyle (R[[X]],\;d)}$ является полным.
• Кольцо ${\displaystyle R[[X]]}$ является компактным тогда, когда кольцо ${\displaystyle R}$ является конечным.
• Лемма Бореля — Уитни : для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция , ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом .

См. также

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

Ссылки

• на сайте PlanetMath .
• Павлова Н. Г., Ремизов А. О. // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 49—65.

Примечания