Аттрактор Рёсслера
— хаотический
аттрактор
, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера
:
;
где
— положительные постоянные. При значениях параметров
и
уравнения Рёсслера обладают устойчивым
предельным циклом
. При этих значениях параметров в системе происходит
каскад удвоения периода
. При
возникает хаотический
аттрактор
. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют
фазовое пространство
бесконечным множеством траекторий, обладающим свойствами
фрактала
.
Сам
изучал систему при постоянных
,
и
, но также часто используются и значения
,
, и
.
Содержание
Анализ поведения системы в плоскости
Два из уравнений системы Рёсслера линейны. При
они принимают вид
Поэтому устойчивость движения в плоскости
определяется собственными значениями матрицы Якоби
, которые равны
.
Вывод
Найдём собственные значения матрицы
.
Определитель равен
, отсюда
Проекция аттрактора Рёсслера на плоскость
при
,
,
. Красная точка в середине спирали и черная точка внизу слева - неподвижные точки системы дифференциальных уравнений Рёсслера.
Когда
, собственные значения имеют положительную вещественную часть и комплексно сопряжены. Поэтому фазовые траектории расходятся от начала координат по спирали. Теперь проанализируем изменение координаты
, считая
. Пока
меньше
, множитель
в уравнении на
будет удерживать траекторию близкой к плоскости
. Как только
станет больше
,
-координата начнёт расти. В свою очередь, большой параметр
начнёт тормозить рост
в
.
Неподвижные точки
Уравнения на неподвижные точки можно найти, положив производные в системе уравнений Рёсслера равными нулю. В результате оказывается, что существует две неподвижные точки:
Как видно на изображении проекции аттрактора Рёсслера выше, одна из этих точек расположена в центре
спирали аттрактора, а другая находится далеко от неё.
Изменение параметров a, b и c
Поведение аттрактора Рёсслера в сильно зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего в системе может возникнуть устойчивая неподвижная точка, предельный цикл или решения системы станут "убегать" на бесконечность.
Бифуркационные диаграммы
являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в том числе и аттрактора Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.
: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.
Изменение параметра b
Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося
Зафиксируем
,
и будем менять теперь параметр
. Как видно из рисунка, при
стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда
станет больше
и
, система уравновесится и перейдёт в стационарное состояние.
Изменение параметра c
Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося
Зафиксируем
и будем изменять
. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких
система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении
. Например при
= 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда
= 3 и так далее; пока
не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.
Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений
, которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.
Variations in the post-transient Rössler system as
is varied over a range of values.
Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с.,
ISBN 5-484-00058-0
, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.