Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.

Названа в честь Моргана Крофтона .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \gamma }$ — спрямляемая плоская кривая . Для прямой ${\displaystyle l}$ , обозначим через ${\displaystyle n_{\gamma }(l)}$ число точек, в которых ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle l}$ пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые ${\displaystyle l}$ углом ${\displaystyle \varphi }$ к выбранному направлению и расстоянием ${\displaystyle p}$ от начала координат , взятым со знаком. Тогда длина кривой ${\displaystyle \gamma }$ равна

${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.}$

Замечания

• Дифференциальная форма

  ${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$

инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.

• Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.

Приложения

Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:

• Если замкнутая плоская кривая обходит вокруг выпуклой кривой, то эта выпуклая кривая имеет меньшую длину.
• Теорема Барбье : Кривая постоянной ширины ${\displaystyle a}$ имеет периметр ${\displaystyle \pi \cdot a}$ .
• Изопериметрические неравенства : среди замкнутых кривых с заданным периметром, круг имеет максимальную площадь.
• Если сферическая кривая имеет длину меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ , то она лежит в открытой полусфере. Это утверждение является ключевым в доказательстве теоремы Фенхеля о повороте кривой .

Вариации и обобщения

• Задача Бюффона о бросании иглы

• Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины.
  • Например, длина кривой на единичной сфере равна ${\displaystyle \pi \cdot n}$ , где ${\displaystyle n}$ обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.

• Преобразование Радона может рассматриваться как обобщение формулы Крофтона в теории меры.
• Формула Сантало

Литература

• (англ.) ( . (англ.) . — AMS, 2005. — P. —40. — ISBN 0-8218-3919-5 .
• Santalo, L. A. Introduction to Integral Geometry (англ.) . — 1953. — P. 12—13, 54.
• Лекция 19 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. . — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7 .