Interested Article - Математика

Евклид . Деталь « Афинской школы » Рафаэля

Матема́тика ( др.-греч. μᾰθημᾰτικά < μάθημα «изучение; наука») — точная формальная наука , первоначально исследовавшая количественные отношения и пространственные формы . В более современном понимании, это наука об отношениях между объектами , о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории .

Математика исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов . Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке .

Математика не относится к естественным наукам , но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Она является фундаментальной наукой , предоставляющей (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы .

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом , либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства ( теоремы ). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики .

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную , предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук , и как часть математических наук; механика — и физика , и математика; информатика , компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии , так и к математическим наукам и т. д.

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα , что означает «изучение, знание, наука», и др.-греч. μαθηματικός , первоначально означающего «восприимчивый, успевающий» , позднее — «относящийся к изучению», впоследствии ставшее «относящийся к математике». В частности, μαθηματικὴ τέχνη , на латыни ars mathematica , означает «искусство математики». Термин др.-греч. μᾰθημᾰτικά в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). По мнению Фасмера , в русский язык слово пришло либо через польск. matematyka , либо через лат. mathematica .

В текстах на русском языке слово «математика», или маѳематика , встречается, по крайней мере, с XVII века — например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) .

Определения

Аристотель определял математику как «науку о количестве», и это определение являлось преобладающим вплоть до XVIII века.

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт :

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ :464 , данное А. Н. Колмогоровым :

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Ф. Энгельса ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле :476,477 .

Формулировка Бурбаки :

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным .

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику , изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

и высшую математику , изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика образована следующими учебными дисциплинами:

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации подразделяется на специальности:

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество () выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется . Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это . Предыдущая версия — .

Обозначения

Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики — математического анализа , математической логики , теории множеств и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы ), нередко также применяются обозначения на основе графов .

Краткая история

Кирик Новгородец . «Наставление, как человеку познать счисление лет». Рукопись. Лист 345 (оборот). Содержит древнерусские числа
Кипу , использовались инками для записи чисел

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

  1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
  2. Период элементарной математики, начинающийся в VI V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века , составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
  3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII XVIII века , «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
  4. Период современной математики — математики XIX XX века , в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
Цифры майя

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа ; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время : дни , сезоны , года . Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика : сложение , вычитание , умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки , не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу . Существовало множество различных систем счисления . Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса , созданном египтянами Среднего царства . Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления , включающую концепцию нуля .

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур , пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель , достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение . Например, обобщая понятие « пространство » до пространства n-измерений. « Пространство R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , при n > 3 {\displaystyle n>3} является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях » .

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода : сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом , а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы , в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона . Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством , однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем , которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики .

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику , более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного , многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [ прояснить ] . Согласно критерию конструктивности — « существовать — значит быть построенным » . Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости .

Основные темы

Число (количество)

Основной раздел, рассматривающий абстракцию количества — алгебра . Понятие «число» первоначально зародилось из арифметических представлений и относилось к натуральным числам . В дальнейшем оно, с помощью алгебры, было постепенно распространено на целые , рациональные , действительные , комплексные и другие числа.

1 , 2 , {\displaystyle 1,\;2,\;\ldots } Натуральные числа
0 , 1 , 1 , {\displaystyle 0,\;1,\;-1,\;\ldots } Целые числа
1 , 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , {\displaystyle 1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {2}{3}},\;0{,}12,\;\ldots } Рациональные числа
1 , 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , {\displaystyle 1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } Вещественные числа
1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , {\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots } 1 , i , j , k , π j 1 2 k , {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots }
Комплексные числа Кватернионы

Числа Натуральные числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Алгебраические числа Трансцендентные числа Вещественные числа Комплексные числа Гиперкомплексные числа Кватернионы Октонионы Седенионы Гиперреальные числа Сюрреальные числа p -адические числа Математические постоянные Названия чисел Бесконечность

Преобразования

Явления преобразований и изменений в самом общем виде рассматривает анализ .

36 ÷ 9 = 4 {\displaystyle 36\div 9=4} 1 S d μ = μ ( S ) {\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)}
Арифметика Дифференциальное и интегральное исчисление Векторный анализ Анализ
d 2 d x 2 y = d d x y + c {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c}
Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса

Арифметика Векторный анализ Анализ Теория меры Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса

Структуры

Теория множеств Линейная алгебра Общая алгебра (включает, в частности, теорию групп , универсальную алгебру , теорию категорий ) — Алгебраическая геометрия Теория чисел Топология .

Пространственные отношения

Основы пространственных отношений рассматривает геометрия . Тригонометрия рассматривает свойства тригонометрических функций . Изучением геометрических объектов посредством математического анализа занимается дифференциальная геометрия . Свойства пространств, остающихся неизменными при непрерывных деформациях и само явление непрерывности изучает топология .

Геометрия Тригонометрия Дифференциальная геометрия Топология Фракталы Теория меры

Геометрия Тригонометрия Алгебраическая геометрия Топология Дифференциальная геометрия Алгебраическая топология Линейная алгебра Фракталы Теория меры .

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства исследования объектов, способных принимать только отдельные (дискретные) значения (то есть объектов, не способных изменяться плавно) .

x ( P ( x ) P ( x ) ) {\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x'))}
Математическая логика Теория вычислимости Криптография Теория графов

Комбинаторика Теория множеств Теория решёток Математическая логика Теория вычислимости Криптография Теория функциональных систем Теория графов Теория алгоритмов Логические исчисления Информатика .

Награды

Самой престижной наградой за достижения в области математики, иногда называемой «Нобелевской премией для математиков», является Филдсовская премия , основанная в 1924 году и присуждаемая каждые четыре года вместе с денежным вознаграждением в размере 15 000 канадских долларов . На церемонии открытия Международного конгресса математиков сообщаются имена лауреатов четырёх премий за достижения в математике:

Кроме того, с 2010 года на церемонии закрытия конгресса вручается премия Лилавати за популяризацию математики.

В 2000 году Математический институт Клэя объявил список из семи математических задач , за решение каждой из которых назначен приз в размере 1 млн долларов США .

Коды в системах классификации знаний

Онлайн-сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них — англоязычные .

Программное обеспечение

Математическое программное обеспечение многогранно:

  • Пакеты, ориентированные на набор математических текстов и на их последующую вёрстку ( TeX ).
  • Пакеты, ориентированные на решение математических задач, численное моделирование и построение графиков ( GNU Octave , Maple , Mathcad , MATLAB , Scilab ).
  • Электронные таблицы .
  • Отдельные программы или пакеты программ, активно использующие математические методы ( калькуляторы , архиваторы, протоколы шифрования/дешифрования, системы распознавания образов, кодирование аудио и видео).

См. также

Популяризаторы науки

Примечания

  1. (неопр.) . www.classes.ru. Дата обращения: 20 сентября 2017. 9 августа 2018 года.
  2. (англ.) . www.britannica.com . Дата обращения: 13 января 2022. 3 января 2018 года.
  3. // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
  4. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
  5. (англ.) , Encyclopedia Britannica . 3 июля 2008 года. Дата обращения: 20 сентября 2017.
  6. (неопр.) . Сибирский открытый университет. Дата обращения: 5 октября 2010. Архивировано из 24 января 2012 года.
  7. Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М. : МГТУ им. Баумана , 2006. — С. 581—582. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  8. (неопр.) . slovarus.info. Дата обращения: 20 сентября 2017. Архивировано из 12 февраля 2013 года.
  9. (неопр.) . classes.ru. Дата обращения: 20 сентября 2017. 15 сентября 2017 года.
  10. Словарь русского языка XI—XVII вв. Выпуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Филин . — М. : Наука , 1982. — С. 41.
  11. Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
  12. . — Leipzig , 1907. — P. 13.
  13. ↑ Математика / А. Н. Колмогоров // Большая Советская Энциклопедия / гл. ред. Б. А. Введенский . — 2-е изд. — М. : Государственное научное издательство «Большая Советская Энциклопедия», 1954. — Т. 26 : Магнитка — Медуза. — С. 464—483. — 300 000 экз.
  14. «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» в источнике: Маркс К., Энгельс Ф. Анти-Дюринг // Сочинения. — 2-е изд. — М. : Государственное издательство политической литературы, 1961. — Т. 20. — С. 37. — 130 000 экз.
    Оригинал цитаты (нем.) — «Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisse der wirklichen Welt» — в источнике: Friedrich Engels. . — Leipzig , 1878. — P. 20. 16 мая 2019 года.
  15. Герман Вейль // Клайн М. . — М. : Мир, 1984. — С. 16. 12 февраля 2007 года. (неопр.) . Дата обращения: 12 января 2009. Архивировано из 12 февраля 2007 года.
  16. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация — Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством О. Б. Лупанова )
  17. , утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 № 59
  18. (неопр.) . Дата обращения: 7 сентября 2009. 26 августа 2009 года.
  19. Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
  20. Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
  21. Г. И. Рузавин. О природе математического знания. — М. , 1968.
  22. Renze, John; Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  23. (неопр.) . Wolfram MathWorld . Дата обращения: 7 июля 2019. 2 июня 2019 года.
  24. (неопр.) . www.gsnti-norms.ru. Дата обращения: 20 сентября 2017. (недоступная ссылка)
  25. Например: от 29 февраля 2000 на Wayback Machine

Литература

Энциклопедии
Справочники
  • А. А. Адамов, А. П. Вилижанин, Н. М. Гюнтер, А. Н. Захаров, В. М. Мелиоранский, В. Ф. Точинский, Я. В. Успенский. Сборник задач по высшей математике преподавателей Института Инженеров Путей Сообщения. — СПб. , 1912.
  • Шахно К. У. Справочник по элементарной математике. — Л. , 1955.
  • Г. Корн, Т. Корн. . — М. , 1973.
Книги
  • Клайн М. . — М. : Мир, 1984. от 12 февраля 2007 на Wayback Machine
  • Клайн М. . — М. : Мир, 1988. — 295 с. (недоступная ссылка)
  • Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
  • Р. Курант , Г. Роббинс. . — 3-e изд., испр. и доп.. — М. , 2001. — 568 с.
  • Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.
  • Пуанкаре А. = Science et methode. (рус.) (фр.)
Занимательная математика
  • Бобров С. П. . — М. : Детская литература, 1967. — 496 с.
  • Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки; 200 знаменитых головоломок мира; Пятьсот двадцать головоломок.
  • Кэррол Л. История с узелками; Логическая игра.
  • Таунсенд Чарлз Барри. Звёздные головоломки; Самые весёлые головоломки; Самые трудные головоломки из старинных журналов.
  • Перельман Я. И. Занимательная математика.

Ссылки

Same as Математика