Числа Якобсталя — , названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя .

Числа Якобсталя

Как и числа Фибоначчи , числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

${\displaystyle U_{n}(P,Q),}$

для которой P = 1 и Q = −2 . Последовательность начинается с чисел

0, 1, 1, 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}}$

Другие варианты рекуррентного задания последовательности :

• ${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}}$
• ${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}}$

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

Числа Якобсталя-Люка

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$ . Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями :

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}}$

Альтернативная формула :

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.}$

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.}$

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел

2, 1, 5 , 7 , 17 , 31 , 65, 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537 , 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …

Примечания

Литература

• A. F. Horadam (1994–05). (PDF) (англ.) . {{ cite news }} : Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) ( ссылка )
• Paul Barry (2003–04). (PDF) (англ.) . Irish Math. Soc. Bulletin. {{ cite news }} : Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) ( ссылка )
• Zvonko Čerin (2007). (PDF) (англ.) . Vol. 10. Journal of Integer Sequences.

Ссылки

• Последовательность в OEIS : простые числа Якобсталя