Interested Article - Теорема Больцано — Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса , или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке , — предложение анализа , одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности ( ), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней . Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса , которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.

Формулировки

Известно несколько формулировок теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Первая формулировка

Пусть предложена последовательность точек пространства :

и пусть эта последовательность ограничена , то есть

где — некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

которая сходится к некоторой точке пространства .

Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности .

Расширенный вариант первой формулировки

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства неограничена , то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел .

Для случая эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака ( или ).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел .

Вторая формулировка

Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество пространства имеет по крайней мере одну предельную точку в .

Более подробно, это означает, что существует точка , всякая окрестность которой содержит бесконечное число точек множества .

Доказательство

Теорема Больцано — Вейерштрасса выводится из свойства полноты множества действительных чисел . В наиболее известном варианте доказательства используется свойство полноты в форме принципа вложенных отрезков .

Одномерный случай

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано , или методом деления пополам .

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

Из ограниченности последовательности следует, что все её члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим .

Разделим отрезок пополам на два равных отрезка. По крайней мере, один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его .

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком : разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его .

Продолжая процесс, получим последовательность вложенных отрезков

в которой каждый последующий является половиной предыдущего и содержит бесконечное число членов последовательности .

Длины отрезков стремятся к нулю:

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора , существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам:

По построению на каждом отрезке лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность

,

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность сходится к точке . Это следует из того, что расстояние от до не превосходит длины содержащего их отрезка , откуда

Распространение на случай пространства произвольной конечной размерности

Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.

Пусть дана последовательность точек пространства :

(нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:

также ограничена ( — номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейерштрасса из последовательности можно выделить подпоследовательность точек , первые координаты которых образуют сходящуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности ещё раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После шагов получим некоторую последовательность

,

являющуюся подпоследовательностью , и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.

История

Теорема Больцано — Вейерштрасса (для случая ) впервые была доказана чешским математиком Больцано в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции , известной теперь как теорема Больцано — Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса , остались незамеченными.

Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально она называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.

Сегодня эта теорема носит имена Больцано и Вейерштрасса. Нередко эту теорему называют леммой Больцано — Вейерштрасса , а иногда леммой о предельной точке .

Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

Теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает следующее интересное свойство ограниченного множества : всякая последовательность точек содержит сходящуюся подпоследовательность.

При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приему: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из неё выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. Например, именно так доказывается теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Эффективность подобного приема вообще, а также желание распространить теорему Вейерштрасса на произвольные метрические пространства , побудили в 1906 году французского математика Мориса Фреше ввести понятие компактности . Свойство ограниченных множеств в , устанавливаемое теоремой Больцано—Вейерштрасса, заключается, образно говоря, в том, что точки множества располагаются достаточно «тесно», или же «компактно»: сделав бесконечное число шагов по этому множеству, мы непременно сколь угодно близко подойдем к какой-то точке пространства.

Фреше вводит следующее определение: множество называется компактным , или же компактом , если всякая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества. При этом предполагается, что на множестве определена метрика, то есть оно является метрическим пространством , либо подмножеством метрического пространства.

Если исходить из этого определения, то не всякое ограниченное множество является компактным: подпоследовательность точек из может сходиться к точке, уже не принадлежащей этому множеству. Однако замыкание ограниченного множества уже будет компактом. Тем самым теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает достаточное условие компактности в пространстве : для того чтобы множество было компактным достаточно , чтобы оно было замкнутым и ограниченным. Нетрудно убедиться в необходимости этих условий (это намного проще, чем доказать достаточность).

Таким образом, с точки зрения общего определения компактности роль теоремы Больцано — Вейерштрасса заключается в том, что она устанавливает критерий компактности в пространстве : компакты в — в точности замкнутые ограниченные множества.

См. также

Примечания

Литература

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М. : «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1 .
  • Рыбников К. А. История математики. — М. : Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis / пер. с англ. Хавина. — второе, стереотипное. — М. : «Мир», 1976.
Источник —

Same as Теорема Больцано — Вейерштрасса