Теорема Вейерштрасса о функции на компакте
- 1 year ago
- 0
- 0
Теорема Больцано — Вейерштрасса , или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке , — предложение анализа , одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности ( ), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней . Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса , которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.
Известно несколько формулировок теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Пусть предложена последовательность точек пространства :
и пусть эта последовательность ограничена , то есть
где — некоторое число.
Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность
которая сходится к некоторой точке пространства .
Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности .
Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.
Если последовательность точек пространства неограничена , то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел .
Для случая эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака ( или ).
Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел .
Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Всякое ограниченное бесконечное подмножество пространства имеет по крайней мере одну предельную точку в .
Более подробно, это означает, что существует точка , всякая окрестность которой содержит бесконечное число точек множества .
Пусть — ограниченное бесконечное подмножество пространства . Возьмем в последовательность различных точек
Поскольку эта последовательность ограничена, в силу первой формулировки теоремы Больцано — Вейерштрасса из неё можно выделить подпоследовательность
сходящуюся к некоторой точке . Тогда всякая окрестность точки содержит бесконечное число точек множества .
Множество значений данной последовательности ограничено, но может быть как бесконечным, так и конечным. Если конечно, то одно из значений повторяется в последовательности бесконечное число раз. Тогда эти члены образуют стационарную подпоследовательность (т.е. последовательность, все элементы которой совпадают, начиная с некоторого), сходящуюся к точке .
Если же множество бесконечно, то в силу второй формулировки теоремы Больцано — Вейерштрасса, существует точка , в любой окрестности которой имеется бесконечное много различных членов последовательности.
Выберем последовательно для точки , соблюдая при этом условие возрастания номеров:
Теорема Больцано — Вейерштрасса выводится из свойства полноты множества действительных чисел . В наиболее известном варианте доказательства используется свойство полноты в форме принципа вложенных отрезков .
Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано , или методом деления пополам .
Пусть дана ограниченная числовая последовательность
Из ограниченности последовательности следует, что все её члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим .
Разделим отрезок пополам на два равных отрезка. По крайней мере, один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его .
На следующем шаге повторим процедуру с отрезком : разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его .
Продолжая процесс, получим последовательность вложенных отрезков
в которой каждый последующий является половиной предыдущего и содержит бесконечное число членов последовательности .
Длины отрезков стремятся к нулю:
В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора , существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам:
По построению на каждом отрезке лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность
соблюдая при этом условие возрастания номеров:
Тогда подпоследовательность сходится к точке . Это следует из того, что расстояние от до не превосходит длины содержащего их отрезка , откуда
Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.
Пусть дана последовательность точек пространства :
(нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:
также ограничена ( — номер координаты).
В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейерштрасса из последовательности можно выделить подпоследовательность точек , первые координаты которых образуют сходящуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности ещё раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.
После шагов получим некоторую последовательность
являющуюся подпоследовательностью , и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.
Теорема Больцано — Вейерштрасса (для случая ) впервые была доказана чешским математиком Больцано в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции , известной теперь как теорема Больцано — Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса , остались незамеченными.
Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально она называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.
Сегодня эта теорема носит имена Больцано и Вейерштрасса. Нередко эту теорему называют леммой Больцано — Вейерштрасса , а иногда леммой о предельной точке .
Теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает следующее интересное свойство ограниченного множества : всякая последовательность точек содержит сходящуюся подпоследовательность.
При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приему: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из неё выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. Например, именно так доказывается теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает свои наибольшее и наименьшее значения.
Эффективность подобного приема вообще, а также желание распространить теорему Вейерштрасса на произвольные метрические пространства , побудили в 1906 году французского математика Мориса Фреше ввести понятие компактности . Свойство ограниченных множеств в , устанавливаемое теоремой Больцано—Вейерштрасса, заключается, образно говоря, в том, что точки множества располагаются достаточно «тесно», или же «компактно»: сделав бесконечное число шагов по этому множеству, мы непременно сколь угодно близко подойдем к какой-то точке пространства.
Фреше вводит следующее определение: множество называется компактным , или же компактом , если всякая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества. При этом предполагается, что на множестве определена метрика, то есть оно является метрическим пространством , либо подмножеством метрического пространства.
Если исходить из этого определения, то не всякое ограниченное множество является компактным: подпоследовательность точек из может сходиться к точке, уже не принадлежащей этому множеству. Однако замыкание ограниченного множества уже будет компактом. Тем самым теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает достаточное условие компактности в пространстве : для того чтобы множество было компактным достаточно , чтобы оно было замкнутым и ограниченным. Нетрудно убедиться в необходимости этих условий (это намного проще, чем доказать достаточность).
Таким образом, с точки зрения общего определения компактности роль теоремы Больцано — Вейерштрасса заключается в том, что она устанавливает критерий компактности в пространстве : компакты в — в точности замкнутые ограниченные множества.