Множество раздела точки ${\displaystyle p}$ в римановом многообразии ${\displaystyle M}$ — подмножество точек ${\displaystyle \operatorname {C} _{p}\subset M}$ , через которые не проходит ни одна кратчайшая из ${\displaystyle p}$ .

Множество раздела также называется катлокус , от англ. cut locus .

Примеры

• Множество раздела точки ${\displaystyle p}$ стандартной сферы состоит из точки, противоположной ${\displaystyle p}$ .
• Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства

• Множество раздела — замкнутое множество .
• Множество раздела имеет нулевой объём.
• Подмножество ${\displaystyle M\backslash \operatorname {C} _{p}}$ диффеоморфно шару.
• Если между точками ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ существуют две различные кратчайшие, то ${\displaystyle p\in \operatorname {C} _{q}}$ и ${\displaystyle q\in \operatorname {C} _{p}}$ .
• Если ${\displaystyle p\in \operatorname {C} _{q}}$ и кратчайшая ${\displaystyle \gamma }$ между точками ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении ${\displaystyle \gamma }$ .
• Если ${\displaystyle M}$ — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела ${\displaystyle \operatorname {C} _{p}}$ допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
  • Без аналитичности ${\displaystyle M}$ множество ${\displaystyle \operatorname {C} _{p}}$ может быть даже нетриангулируемым .
• Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.

См. также

• Срединная ось

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб. : Наука, 1994. — 318 с.