Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике ( линейной алгебре , дифференциальной геометрии , тензорном анализе ) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры ( скаляры , векторы , операторы , билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях . Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.

Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в пространствах, где задан метрический тензор (не следует путать с метрическим пространством ).

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах

Контравариантные и ковариантные векторы

Пусть ${\displaystyle V}$ — некоторое конечномерное векторное пространство , и в нём задан некоторый базис ${\displaystyle e_{i},i=1..n}$ . Произвольный вектор ${\displaystyle x}$ можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ . В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна : если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: ${\displaystyle x=x^{i}e_{i}}$ . Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования ${\displaystyle S}$ . По тем же соображениям введём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — ${\displaystyle S_{i}^{j}}$ . Тогда ${\displaystyle e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}}$ (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу ${\displaystyle T=S^{-1}}$ , можно записать: ${\displaystyle e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}}$ . Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: ${\displaystyle x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}}$ . Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными ${\displaystyle x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}}$ , то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или контравариантный , индекс.

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряжённым пространством ${\displaystyle V^{*}}$ . Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряжённого пространства с верхним индексом ${\displaystyle g^{i}}$ . Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: ${\displaystyle f=f_{i}g^{i}}$ , то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел ${\displaystyle f_{i}}$ , как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что ${\displaystyle g^{i}(x)=x^{i}}$ , то есть эти функционалы находят ${\displaystyle i}$ -ю координату вектора (проекцию на базисный вектор ${\displaystyle e_{i}}$ ). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть ${\displaystyle g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)}$ . Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала ${\displaystyle f_{i}}$ будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы ${\displaystyle T^{-1}=S}$ . Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют ковариантностью . Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами , или кратко — ковекторами . Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ковариантный , индекс.

Контравариантность и ковариантность тензоров

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — тензоры , частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким ( ${\displaystyle k}$ ) векторам пространства ${\displaystyle V}$ некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции . Можно показать, что все ${\displaystyle k}$ -линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную ${\displaystyle k}$ -линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют ${\displaystyle k}$ раз ковариантными тензорами . Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так ${\displaystyle A_{ij}}$ .

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве ${\displaystyle V^{*}}$ , совокупность которых также образует линейное пространство ${\displaystyle V^{**}}$ , которое является сопряженным к ${\displaystyle V^{*}}$ . В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются так же, как базис пространства ${\displaystyle V^{*}}$ , а значит — противоположно базису основного пространства ${\displaystyle V}$ . То есть они обладают свойством контравариантности и называются ${\displaystyle k}$ раз контравариантным тензором . Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как ${\displaystyle A^{ij}}$ .

Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$ , то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m раз контравариантным и k раз ковариантным — ${\displaystyle T_{k}^{m}}$ . Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ . Общее количество индексов ${\displaystyle k+m}$ называется рангом , или валентностью , тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, ${\displaystyle A_{j}^{i}=A(e^{i},e_{j})}$ .

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется свёрткой по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид ${\displaystyle y^{i}=A_{j}^{i}x^{j}}$ . Линейные операторы являются классическим примером тензора типа ${\displaystyle T_{1}^{1}}$ .

При преобразовании тензора типа ${\displaystyle T_{k}^{m}}$ при смене базиса m раз используется прямая матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ типа ${\displaystyle T_{1}^{1}}$ при смене базиса преобразуется следующим образом:

${\displaystyle A_{j'}^{i'}=T_{j'}^{q}S_{p}^{i'}A_{q}^{p}}$

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

Метрический тензор

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение ${\displaystyle g}$ — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор ), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы ${\displaystyle g(x,x)}$ ) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют метрическим тензором . Компоненты этого тензора в данном базисе ${\displaystyle g_{ij}=g(e_{i},e_{j})}$ . Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как ${\displaystyle g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}}$ . В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства ${\displaystyle V}$ и сопряжённого пространства ${\displaystyle V^{*}}$ , то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать ${\displaystyle x_{i}=g_{ij}x^{j}}$ . Эта операция называется опусканием или спуском индекса . Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора ${\displaystyle x^{j}=g^{ij}x_{i}}$ . Эта операция называется поднятием или подъёмом индекса . Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть ${\displaystyle g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}}$ . Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: ${\displaystyle g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}=x_{i}y^{i}=x^{i}y_{i}=g^{ij}x_{i}y_{j}}$ .

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства ${\displaystyle x_{i}x^{i}}$ . В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора . То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором . Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции ${\displaystyle \mathbf {grad} f(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f}$ . Его свёртка с контравариантным (обычным) вектором ${\displaystyle dx^{i}}$ даёт инвариант — дифференциал функции ${\displaystyle df(x)}$ . Таким образом, если мы принимаем ${\displaystyle dx^{i}}$ в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свёртывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы ${\displaystyle dx^{i}}$ требуют при свёртывании с такими же векторами использования метрического тензора ${\displaystyle \ (dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$ .

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения ${\displaystyle \ dx^{i}}$ , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с ${\displaystyle \ dx^{i}}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы, а те, что с участием метрики — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты настолько абстрактны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Обобщение на криволинейные базисы и искривлённые пространства

Координаты евклидового (псеводоевклидового) пространства могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае координатные базисы ${\displaystyle dx^{i}}$ можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остаётся выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: ${\displaystyle (dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$ . В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом, он представляет собой тензорное поле — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.

Более общая ситуация имеет место в случае искривлённых пространств — римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривлённое пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности — некоторая гладкая кривая поверхность в трёхмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривлённой) — это геометрия искривлённого пространства. В общем случае искривлённого пространства размерности ${\displaystyle n}$ его можно представить себе как произвольную (искривлённую) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких многообразий со счетной базой доказана теорема Уитни о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности ${\displaystyle n}$ является вложенным в «плоское» (то есть неискривлённое евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности ${\displaystyle 2n}$ .

В искривлённом пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные координатные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.

Общие определения

В случае криволинейных координат или искривлённых пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: ${\displaystyle x^{\prime \,i}=x^{\prime \,i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})}$ . Для бесконечно малых изменений старых координат ${\displaystyle dx^{j}}$ можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

${\displaystyle dx^{\prime \,i}={\frac {\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}}$

Любой вектор ${\displaystyle v}$ , преобразующийся так же, как и ${\displaystyle dx^{i}}$ , то есть

${\displaystyle v^{\prime \,i}={\frac {\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^{j}}}v^{j}}$

называется контравариантным вектором .

Для некоторой скалярной функции координат ${\displaystyle f(x)}$ рассмотрим её градиент ${\displaystyle {\frac {\partial f(x)}{\partial x^{i}}}}$ . При переходе к другим координатам имеем:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x)}{\partial x^{\prime \,i}}}={\frac {\partial f(x)}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial x^{\prime \,i}}}}$

Любой вектор ${\displaystyle u}$ , преобразующийся так же, как градиент, то есть

${\displaystyle u'_{i}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x^{\prime \,i}}}u_{j}}$

называется ковариантным вектором .

Соответственно, ${\displaystyle m}$ раз контравариантным и ${\displaystyle k}$ раз ковариантным тензором (тензором типа ${\displaystyle T_{k}^{m}}$ ) называется объект, преобразующийся при смене базиса применением ${\displaystyle m}$ раз «обратного» преобразования ${\displaystyle {\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}}$ и ${\displaystyle k}$ раз «прямого» преобразования ${\displaystyle {\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}}$ .

Например, дважды контравариантный тензор ${\displaystyle A^{ij}}$ и дважды ковариантный тензор ${\displaystyle A_{ij}}$ преобразуются по следующим законам:

${\displaystyle {A'}^{ij}={\frac {\partial x^{\prime \,i}}{\partial x^{q}}}{\frac {\partial x^{\prime \,j}}{\partial x^{p}}}A^{pq}}$

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{q}}{\partial x^{\prime \,i}}}{\frac {\partial x^{p}}{\partial x^{\prime \,j}}}A_{pq}}$

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

${\displaystyle {A'}_{i}^{j}={\frac {\partial x^{p}}{\partial x^{\prime \,i}}}{\frac {\partial x^{\prime \,j}}{\partial x^{q}}}A_{p}^{q}}$

Обычно для указания, что компоненты тензора преобразованы к новому базису со штрихом, штрих указывают у соответствующих индексов тензора, а не у его буквенного обозначения, в таком случае вышеуказанные формулы записывают так

${\displaystyle A^{i'j'}={\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^{q}}}{\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^{p}}}A^{pq},\qquad A_{i'j'}={\frac {\partial x^{q}}{\partial x^{i'}}}{\frac {\partial x^{p}}{\partial x^{j'}}}A_{pq},\qquad A_{i'}^{j'}={\frac {\partial x^{p}}{\partial x^{i'}}}{\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^{q}}}A_{p}^{q}}$

Алгебра и геометрия

В теории категорий функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются смешанными и не являются функторами.

В геометрии для каждого отображение различаются отображение в пространство и отображение из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M в точке P — это класс эквивалентности кривых в M , проходящих через данную точку P . Поэтому он контравариантен относительно гладкого отображения M . Ковариантный вектор, или ковектор , таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось около P в кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях базисов и, соответственно, координат, если брать, как это делают обычно, координатные базисы.

См. также

• Общековариантность
• Лоренц-ковариантность
• Бра и кет
• Ковариантная производная
• Метрический тензор
• Ковариантность и контравариантность (программирование)

Примечания

Литература

• Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry , New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
• Кильчевский Н. А. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике, Гостехиздат 1954 г.

В статье есть список источников , но не хватает сносок . Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники , подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены . ( 12 июля 2014 )