В математике тождества Нётер характеризуют вырожденность лагранжевой системы . Если заданы лагранжева система и её лагранжиан ${\displaystyle L}$ , тождества Нётер определяются как дифференциальный оператор , ядро которого содержит образ оператора Эйлера — Лагранжа лагранжиана ${\displaystyle L}$ . Всякий оператор Эйлера — Лагранжа удовлетворяет тождествам Нётер, которые тем самым подразделяются на тривиальные и нетривиальные. Лагранжиан ${\displaystyle L}$ называется вырожденным, если его оператор Эйлера — Лагранжа удовлетворяет нетривиальным тождествам Нётер. В этом случае уравнения Эйлера — Лагранжа не являются независимыми.

Тождества Нётер тоже не обязаны быть независимыми и удовлетворяют тождествам Нётер первого ранга, которые, в свою очередь, подчиняются тождествам Нётер второго ранга и т. д. Тождества Нётер высших рангов также подразделяются на тривиальные и нетривиальные. Вырожденный лагранжиан называется редуцированным, если существуют нетривиальные тождества Нётер высшего ранга. Калибровочная теория Янга — Миллса и калибровочная теория гравитации являются примером нередуцированных лагранжевых полевых моделей.

Различные варианты второй теоремы Нётер устанавливают взаимно однозначное соответствие между нетривиальными редуцированными тождествами Нётер и нетривиальными редуцированными калибровочными симметриями . Формулируемая в самом общем виде, вторая теорема Нётер сопоставляет цепному комплексу редуцированных тождеств Нётер, индексируемых антиполями, БРСТ комплекс редуцированных калибровочных симметрий, параметризуемых духами , как это имеет место в классической теории поля и лагранжевой БРСТ теории .

См. также

• теорема Нётер
• Эмми Нётер
• Лагранжева система
• Калибровочная симметрия (математика)
• Вариационный бикомплекс

Литература

• Gomis, G., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. 259 (1995) 1.
• Fulp, R., Lada, T., Stasheff, J., Noether variational theorem II and the BV formalism, (недоступная ссылка)
• Bashkirov, D., Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , The KT-BRST complex of a degenerate Lagrangian system, Lett. Math. Phys. 83 (2008) 237; (недоступная ссылка) .