Interested Article - Гипотеза Мертенса
- 2020-07-29
- 1
Гипотеза Ме́ртенса — отвергнутая математическая гипотеза , согласно которой функция Мертенса ограничена . Выдвинута Стилтьесом в 1885 году в письме Эрмиту , независимо предложена в 1897 году . Особый интерес к гипотезе был связан с тем, что из её выполнения следует верность гипотезы Римана .
Несмотря на большое количество интуитивных подтверждений и вычислительных предпосылок, гипотеза была опровергнута в 1985 году и .
История
Стилтьес утверждал в 1885 году, что доказал более слабое утверждение: ограничена , но не опубликовал доказательство . (В терминах предположение Мертенса означало, что .)
Одлыжко и те Риле для доказательства ложности гипотезы в 1983 году использовали алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса , получив:
- и .
Позже было доказано, что первый контрпример встречается до , но после 10 16 . С тех пор верхняя граница была понижена до или приблизительно , при этом точный контрпример по состоянию на 2023 год неизвестен.
Закон повторного логарифма утверждает, что если функцию Мёбиуса в определении функции Мертенса заменить случайной последовательностью из +1 и −1, тогда порядок роста частичных сумм первых чисел (с вероятностью 1) составляет около , из чего можно полагать порядок роста приблизительно равным . Истинный порядок роста может быть несколько меньше: в начале 1990-х годов предположено , что порядок роста равен , что нашло в 2004 году также эвристические подтверждения (основанные на выполнении гипотезы Римана и некоторых предположениях об усреднённом поведении нулей -функции Римана) .
В 1979 году найдено наибольшее известное значение для , а в 2011 году вычислено наибольшее известное отрицательное значение для . В 2016 году вычислены для каждого , но бо́льшие значения не найдены .
В 2006 году улучшена верхняя граница и показано, что существует бесконечно много значений , для которых , но без нахождения особых значений для таких . В 2016 году установлено, что:
- и .
Связь с гипотезой Римана
Связь с гипотезой Римана основана на рядах Дирихле для функции, обратной римановой дзета-функции :
в области . Ряд может быть переписан как интеграл Стилтьеса :
- ,
что после интегрирования по частям даёт функцию, обратную дзета-функции — преобразование Меллина :
- .
Используя , выражается через как:
- ,
что верно для , и верно для согласно гипотезе Римана. Из этого следует, что интеграл в преобразовании Меллина должен быть сходящимся, и потому функция должна иметь порядок роста для каждой степени экспоненты , большей, чем . Таким образом:
для всех положительных эквивалентно гипотезе Римана, что следовало бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что:
- .
Примечания
- .
- The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike. — New York, NY : Springer-Verlag , 2007. — P. 69. — ISBN 978-0-387-72125-5 .
- Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138—160, doi : , ISSN , MR , S2CID , Zbl
- Sandor et al (2006) pp. 188—189
- Pintz, J. (1987). (PDF) . Astérisque . 147—148: 325—333. Zbl .
- ↑ Hurst, Greg (2016). "Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture". arXiv : [ ].
- Kotnik and Te Riele (2006)
- ↑ Ng, Nathan (2004). Дата обращения: 2 апреля 2023. 21 сентября 2017 года.
- Cohen, H. and Dress, F. 1979. «Calcul numérique de Mx)» 11-13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I’ATP A12311 Informatique 1975
- Kuznetsov, Eugene (2011). "Computing the Mertens function on a GPU". arXiv : [ ].
- Kotnik & te Riele (2006).
Литература
- Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006). "The Mertens Conjecture Revisited". In Hess, Florian (ed.). Algorithmic number theory. 7th international symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23--28, 2006. Proceedings . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4076. Berlin: Springer-Verlag . pp. 156—167. doi : . ISBN 3-540-36075-1 . Zbl .
- Kotnik, T.; van de Lune, J. (2004). (PDF) . Experimental Mathematics . 13 (4): 473—481. doi : . S2CID . Архивировано из (PDF) 3 апреля 2007 .
- Mertens, F. (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a , 106 : 761—830
- Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138—160, doi : , ISSN , MR , S2CID , Zbl
- Pintz, J. (1987). (PDF) . Astérisque . 147—148: 325—333. Zbl .
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I , Dordrecht: Springer-Verlag , pp. 187—189, ISBN 1-4020-4215-9 , Zbl
- Stieltjes, T. J. (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79", in Baillaud, B.; Bourget, H. (eds.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes , Paris: Gauthier—Villars, pp. 160—164
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Ссылки
- . Numberphile (23 января 2020). 21 декабря 2021 года.
- 2020-07-29
- 1