Interested Article - Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии , утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника , равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида .

Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии , а значит и в геометрии Лобачевского , она выполняется также в сферической геометрии .

Pons asinorum

Чертёж в доказательстве Евклида
Дьявольский мост

Эту теорему, как и (реже) Теорему Пифагора , иногда называют лат. pons asinorum — «мост ослов». Словосочетание известно с 1645 г.

Существуют два возможных объяснения такого названия. Одно состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — «ослы» его осилить не могут .

Доказательства

Евклида и Прокла

Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть, на чертеже к доказательству Евклида.

Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства, проходит почти без изменений. Прокл, предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.

Доказательство Прокла

Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство Прокла

Пусть — равнобедренный треугольник с равными сторонами и . Отметим произвольную точку на стороне и построим точку на стороне так, что . Проведём отрезки , и . Поскольку , и угол общий, по равенству двух сторон и угла между ними, , а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол и и . Поскольку и , вычитания из равных частей равные получаем . Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что . Отсюда и . Вычитания из равных частей равные получаем . Вновь по тому же признаку, получаем, что . Следовательно .

Папп

Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу . Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.

Доказательство Паппа

Пусть — равнобедренный треугольник с равными сторонами и . Применив признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними , получаем . Действительно, эти треугольники имеют общий угол при вершине и равные прилежащие стороны . В частности, .

Другие

Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.

Доказательство

Пусть — равнобедренный треугольник с равными сторонами и . Проведём биссектрису угла . Пусть — точка пересечения биссектрисы со стороной . Заметим, что поскольку , и общая сторона. Значит .

Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая как середину . Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.

Ссылки

  1. Smith, David Eugene. : [ англ. ] . — Ginn And Company, 1925. — Vol. II : Special topics of elementary mathematics. — P. 284. — 725 p.

    It formed at bridge across which fools could not hope to pass, and was therefore known as the pons asinorum, or bridge of fools.¹

    1. The term is something applied to the Pythagorean Theorem.

  2. (англ.) . Merriam-Webster. Дата обращения: 5 октября 2019. 1 апреля 2019 года.
Источник —

Same as Теорема о равнобедренном треугольнике