Interested Article - Закон нуля или единицы

Закон нуля или единицы — утверждение в теории вероятностей о том, что всякое остаточное событие , то есть событие, наступление которого определяется лишь сколь угодно удалёнными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет вероятность нуль или единица. Закон открыт Андреем Николаевичем Колмогоровым , поэтому иногда называется в его честь.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$ и определённая на нём последовательность независимых случайных величин $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ (не обязательно одинаково распределённых). Пусть ${\mathcal {F}}_{\infty }$ — её остаточная $\sigma$ -алгебра , то есть

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{m=1}^{\infty }\bigcup \limits _{n\geqslant m}{\mathcal {F}}_{n}\right),

где ${\mathcal {F}}_{n}$ есть $\sigma$ -алгебра , порождённая случайной величиной $X_{n}$ .

Тогда если $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ , то $\mathbb {P} (A)=0$ или $\mathbb {P} (A)=1$ .

Другими словами, $A$ — остаточное событие, если оно измеримо относительно $\sigma$ -алгебры, порождённой случайными величинами $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , но независимо от любого конечного подмножества этих величин. Согласно теореме, такое событие имеет вероятность ноль или единица.

Пример

Пусть $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность независимых случайных величин. Тогда ряд

\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}

сходится или расходится почти наверное , поскольку никакое конечное подмножество членов ряда не может изменить его сходимость. Если же все члены ряда считать положительными, то событие «ряд сходится к величине, меньшей 1» не является остаточным, так как оно зависит от величины первого члена ряда ^{[

источник не указан 946 дней

]} .