Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями . Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ , в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ является противоположной к ней . Здесь ${\displaystyle {\overline {A}}}$ — отрицание ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle {\overline {B}}}$ — отрицание ${\displaystyle B}$ . Доказательство необходимости и достаточности условий ${\displaystyle A}$ теоремы ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ для её заключения ${\displaystyle B}$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем ( ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ ; ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$ ) или одной из двух обратных теорем ( ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ ; ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$ ) .

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является ${\displaystyle A}$ , а заключением ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ : ${\displaystyle A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)}$ , то для противоположной теоремы существует пять форм:

1. ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z}})}$
2. ${\displaystyle {\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z}})}$
3. ${\displaystyle {\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}}$
4. ${\displaystyle A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z}})}$
5. ${\displaystyle Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z}})}$

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})}$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: ${\displaystyle (B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})}$

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$ , прямой, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$ , не является прямым, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}}$ .

См. также

• Обратная теорема

Примечания

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М. : Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М. : Наука, 1965. — 127 с.