Принцип двойственности в теории множеств — утверждение о свойствах операций над множествами.

Формулировка

Пусть дано множество ${\displaystyle M}$ . Рассмотрим систему всех его подмножеств . Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества ${\displaystyle M}$ , которая формулируется лишь с использованием операций объединения ( ${\displaystyle A\cup B}$ ), пересечения ( ${\displaystyle A\cap B}$ ) и дополнения ( ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ), то верна также и теорема, получающаяся из данной путём замены операции объединения и пересечения соответственно операциями пересечения и объединения, пустого множества ${\displaystyle \emptyset }$ — множеством ${\displaystyle M}$ , а множества ${\displaystyle M}$ — пустым множеством.

Примеры

• Теорема. Для любых подмножеств ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ множества ${\displaystyle M}$ верно, что ${\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)}$ .

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: ${\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)}$ .

• Теорема. Для любого подмножества ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle M}$ верно, что ${\displaystyle A\cap {\overline {A}}=\emptyset }$ .

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: ${\displaystyle A\cup {\overline {A}}=M}$ .

Важно отметить, что принцип двойственности применим только в тех случаях, когда утверждение теоремы постулирует равенство двух выражений над множествами; в других случаях он может нарушаться. Например, для любых подмножеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ множества ${\displaystyle M}$ верно, что ${\displaystyle A\cap B\subseteq A\cup B}$ ; однако двойственное утверждение ( ${\displaystyle A\cup B\subseteq A\cap B}$ ) неверно.

Литература

• Двойственности принцип // Гоголь — Дебит. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — ( Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 7).