Объе́кт катего́рии — базовое, неопределяемое понятие теории категорий , применяемое для обозначения элементов категории, в роли которых могут выступать математические объекты , объединяемые заданной категорией в совокупность — таковыми могут быть, например, множества (объекты категории множеств ), алгебраические системы определённого класса (например, кольца — объекты категории колец ), топологические пространства (объекты категории топологических пространств ), схемы (объекты категории схем ).

Кроме класса объектов, каждая категория состоит также из класса морфизмов — совокупностей преобразований объектов; при этом морфизмы одной категории могут рассматриваться как объекты в какой-либо другой или наоборот, то есть, разделение составляющих категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в рамках фиксированной категории.

Для заданной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ класс её объектов обычно обозначается ${\displaystyle Ob_{\mathcal {C}}}$ . Всякому объекту ${\displaystyle A\in Ob_{\mathcal {C}}}$ соответствует единственный единичный морфизм ${\displaystyle 1_{A}\colon A\to A}$ , притом уникальный в данной категории, то есть единичные морфизмы разных объектов совпадать не могут. Благодаря этому факту можно определить понятие категории не прибегая к введению объектов, а лишь с помощью морфизмов. Кроме того, в построениях объекты называют «0-морфизмами», морфизмы объектов (морфизмы в обычном смысле) — «1-морфизмами», морфизмы морфизмов — «2-морфизмами» и так далее, тем самым подчёркивая общность объектов и их преобразований в категорном языке. Тем не менее, понятие объекта категории является удобным для описания соответствующего вида элементов, поэтому практически всегда используется.

Некоторые типы объектов

• Объект ${\displaystyle P\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ называется универсальным притягивающим (терминальным) объектом , если для любого объекта ${\displaystyle A\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P}$ .
• Объект ${\displaystyle R\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ называется универсальным отталкивающим (инициальным, начальным) объектом , если для любого объекта ${\displaystyle A\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A}$ .
• Объект ${\displaystyle R\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ называется нулевым , если он одновременно универсальный притягивающий и отталкивающий.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .