Категория называется полной в малом , если в ней любая малая диаграмма имеет предел . Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел . Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными . Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком , между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной .

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм , индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

• Следующие категории биполны:
  • категория множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}et}$ ;
  • категория групп ${\displaystyle {\mathcal {G}}rp}$ ;
  • категория колец ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ ;
  • категория абелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {A}}b}$ ;
  • категория топологических пространств ${\displaystyle {\mathcal {T}}op}$ ;
  • ${\displaystyle {\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}}$ ;
  • категория малых категорий ${\displaystyle {\mathcal {C}}at}$ ;
• Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
  • категория конечных множеств ${\displaystyle f{S}et}$ ;
  • категория конечномерных векторных пространств над полем ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle fd-{\mathcal {V}}ect_{K}}$ ;
  • категория конечных групп ${\displaystyle f{\mathcal {G}}rp}$ ;
• Вообще, если ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}}$ — категория моделей некоторой ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ , то ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}}$ полна и кополна, так как она рефлективна в ${\displaystyle \mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)}$ . Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
• ( теорема о пределе с параметром ) Если категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ полна (кополна), то категория ${\displaystyle \mathrm {Func} ({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})}$ полна (кополна) для любой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ , причём пределы вычисляются поточечно.
• Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
• Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань . Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
• Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения . Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

• C конечно полна,
• C имеет все уравнители и конечные произведения,
• C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект ,
• C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.

Если категория ${\displaystyle C}$ полна в малом, то для любой малой категории ${\displaystyle A}$ любой функтор ${\displaystyle F\colon A\to C}$ имеет правое ${\displaystyle \mathrm {Ran} _{K}F}$ по любому функтору ${\displaystyle K\colon A\to B}$ , причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Примечания

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М. : Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. (неопр.) . — John Wiley & Sons , 1990. — ISBN 0-471-60922-6 .