Точная верхняя граница и точная нижняя граница — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества ${\displaystyle X}$ обычно обозначаются ${\displaystyle \sup X}$ (читается супремум икс ) и ${\displaystyle \inf X}$ (читается инфимум икс ) соответственно.

Используемые определения

Мажоранта , или верхняя грань (граница) , числового множества ${\displaystyle X}$ — число ${\displaystyle a}$ такое, что ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a}$ .

Миноранта , или нижняя грань (граница) , числового множества ${\displaystyle X}$ — число ${\displaystyle b}$ такое, что ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b}$ .

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества . Эти понятия будут использованы ниже.

Определения

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей) , или супре́мумом ( лат. supremum — самый высокий), подмножества ${\displaystyle X}$ частично упорядоченного множества (или класса ) ${\displaystyle M}$ называется наименьший элемент ${\displaystyle M}$ , который равен или больше всех элементов множества ${\displaystyle X}$ . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается ${\displaystyle \sup X}$ .

Более формально:

${\displaystyle S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}}$ — множество верхних граней ${\displaystyle X}$ , то есть элементов ${\displaystyle M}$ , равных или больших всех элементов ${\displaystyle X}$ ;

${\displaystyle s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.}$

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей) , или и́нфимумом ( лат. infimum — самый низкий), подмножества ${\displaystyle X}$ частично упорядоченного множества (или класса ) ${\displaystyle M}$ называется наибольший элемент ${\displaystyle M}$ , который равен или меньше всех элементов множества ${\displaystyle X}$ . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается ${\displaystyle \inf X}$ .

Замечания

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли ${\displaystyle \sup X}$ и ${\displaystyle \inf X}$ множеству ${\displaystyle X}$ или нет:

в случае ${\displaystyle s=\sup X\in X}$ говорят, что ${\displaystyle s}$ является максимумом ${\displaystyle X}$ , то есть ${\displaystyle s=\max X}$ ;

в случае ${\displaystyle i=\inf X\in X}$ говорят, что ${\displaystyle i}$ является минимумом ${\displaystyle X}$ , то есть ${\displaystyle i=\min X}$ .

• Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы « порочного круга » в рамках своих теорий.
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей . C английского языка термин «upper bound» может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением «lower bound».

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел , больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. ${\displaystyle \inf }$ такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}}$

${\displaystyle \sup S=1}$ ; ${\displaystyle \inf S=0}$ .

• Множество положительных рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}}$ не имеет точной верхней грани в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , точная нижняя грань ${\displaystyle \inf \mathbb {Q} _{+}=0}$ .
• Множество ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел , то

${\displaystyle \sup X={\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle \inf X=-{\sqrt {2}}}$ .

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое подмножество действительных чисел ${\displaystyle A}$ , ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное ${\displaystyle B}$ , ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют ${\displaystyle {\bar {a}}}$ и ${\displaystyle {\underline {b}}}$ такие, что:

${\displaystyle {\bar {a}}=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a}},\\\forall {\bar {a}}'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)}$

${\displaystyle {\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b}},\\\forall {\underline {b}}'>{\underline {b}}\,\,\exists b\in B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)}$

Доказательство

Для непустого множества ${\displaystyle X}$ , ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа ${\displaystyle x\in X}$ в виде бесконечных десятичных дробей : ${\displaystyle x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots }}}$ , где ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i}}$ — цифра.

Множество ${\displaystyle X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}}$ непусто и ограниченно сверху по определению ${\displaystyle X}$ . Так как ${\displaystyle X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}}$ и ограничено сверху, существует конечное число элементов ${\displaystyle X_{0}}$ , больших некоторого ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}\in X_{0}}$ (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность ${\displaystyle X_{0}}$ сверху). Среди таких выберем ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0}}$ .

Множество ${\displaystyle X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}}$ непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует ${\displaystyle a_{1}=\max X_{1}}$ .

Допустим, что для некоторого номера ${\displaystyle m}$ построено десятичное число ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}}$ такое, что ${\displaystyle \exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots }}}$ , причём ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}}$ (десятичная запись всякого элемента исходного множества до ${\displaystyle m}$ -го знака после запятой не превосходит ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}}$ , причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}}$ ).

Обозначим ${\displaystyle X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}\ldots }}\in X\}}$ (множество из элементов ${\displaystyle X}$ , начинающихся в десятичной записи с ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}$ ). По определению числа ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}}$ , множество ${\displaystyle X_{m+1}}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}}$ , обладающее теми же свойствами, что и ${\displaystyle a_{m}}$ .

Таким образом, согласно принципу индукции , для любого ${\displaystyle n}$ оказывается определённой цифра ${\displaystyle a_{n}}$ и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

${\displaystyle a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R} }$ .

Возьмем произвольное число ${\displaystyle x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}}$ . По построению числа ${\displaystyle a}$ , для любого номера ${\displaystyle n}$ выполняется ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n}}}}$ и поэтому ${\displaystyle x\leqslant a}$ . Поскольку рассуждение выполнено ${\displaystyle \forall x\in X}$ , то ${\displaystyle a=\sup X}$ , причём вторая строка определения оказывается выполненной из построения ${\displaystyle a}$ .

Выберем ${\displaystyle a'<a}$ . Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи ${\displaystyle a'}$ меньше соответствующей в записи ${\displaystyle a}$ . Рассмотрим полученное ${\displaystyle X_{i}}$ по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, ${\displaystyle \exists x\in X_{i}\subset X:x>a'}$ .

Доказательство, использующее принцип полноты

Для непустого множества ${\displaystyle X}$ , ограниченного сверху, рассмотрим ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — непустое множество верхних граней ${\displaystyle X}$ . По определению, ${\displaystyle {\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}}$ (множество ${\displaystyle X}$ лежит левее ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ). Согласно непрерывности , ${\displaystyle \exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}}$ . По определению ${\displaystyle {\overline {X}}}$ , в любом случае ${\displaystyle c\in {\overline {X}}}$ (иначе ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как ${\displaystyle c}$ является наименьшим элементом ${\displaystyle {\overline {X}}}$ , то ${\displaystyle c=\sup X}$ .

Проверим вторую строку определения. Выберем ${\displaystyle c'<c}$ . Пусть ${\displaystyle \not \exists x\in X:x>c'}$ , тогда ${\displaystyle \forall x\in X:x\leqslant c'}$ , а это значит, что ${\displaystyle c'\in {\overline {X}}}$ , но ${\displaystyle c'<c}$ , а ${\displaystyle c}$ — наименьший элемент ${\displaystyle {\overline {X}}}$ . Противоречие, значит ${\displaystyle \exists x\in X:x>c'}$ . Вообще говоря, рассуждение верно ${\displaystyle \forall c'}$ .

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ существует ${\displaystyle \sup }$ .
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ существует ${\displaystyle \inf }$ .
• Вещественное число ${\displaystyle s}$ является ${\displaystyle \sup X}$ тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle s}$ есть верхняя грань ${\displaystyle X}$ , то есть для всех элементов ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle x\leqslant s}$ ;

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся ${\displaystyle x\in X}$ , такой, что ${\displaystyle x+\varepsilon >s}$ (то есть к ${\displaystyle s}$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества ${\displaystyle X}$ , а при ${\displaystyle s\in X}$ очевидно, что ${\displaystyle s+\varepsilon >s}$ ).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М. : Мир, 1976. — 320 с.